Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
Pi> Рг и р (например, P1 ^ p/j/^2, р2^р/|/2)/ является вложением джойна VeJZ) * Ve (g) в многообразие уровня Ve (/ 0 g) = — (/ Фё")-1 (8) П B9 особенности fG~)g вблизи критической точки.
Отображение /: Ve(/)*Ve(g)—- Ve (/ 0 g) вместе с изоморфизмом Яв+я_1 (Ve (/) * Ve (g)) « Hn^1 (Ve (/)) ® Нп_г (Ve (M)) определяет гомоморфизм
U ¦ ff п-г (Ve (/)) <g> Нт-г (Ve (g)) ~+Нп + т^ (Ve (/ 0 g)).
В работе [215] доказана
Теорема 9. Гомоморфизм является изоморфизмом, вложение /: Ve (J) * Ve (g)—і- Ve (/0 g") является гомотопической эквивалентностью.
То, что неособое многообразие уровня Ve (/ 0 g) особенности /0 g- гомотопически эквивалентно джойну V8 (/) * Ve (g"), можно объяснить следующим образом. Рассмотрим функцию / на многообразии Ve (/ 0 g) (точнее,—функцию / о jt1, где u1: VE(/0g)C» с» Сп+т a* С"0Ся-— проекция на первое слагаемое). Прообраз (/оя1)~1(г) точки z?C состоит из точек (х, у) ? С" 0 Cm, для которых /(jc) = z, g (у) = є—z. Поэтому (если отвлечься от тонкостей, связанных с радиусами шаров, в которых рассматриваются неособые многообразия уровня функций) (Zon1)-1 (г) = /-1 (г) х Xg"1 (є—z)- Отображение (Zon1): Ve (/0g)—>- С является невырожденным вне прообразов точек О и є. Рассмотрим в плоскости С отрезок J = u([О, 1]), являющийся образом пути и. Он соединяет точки О и г(и(О) = є, a (I) = O). Над дополнением к отрезку J отображение /Ojt1 определяет локально тривиальное расслоение. Отрезок J является деформационным ретрактом плоскости С. Отсюда следует, что пространство (Zon1)-1 (J) является деформационным ретрактом пространства Ve (/0 g) и поэтому гомотопически эквивалентно ему. При этом (Zon1)-1 (и (t)) при t ? (О, 1) диффеоморфно произведению Ve1 (/) X Ve2 (g") неособых многообразий уровня особенностей fug. Пространство (/Ojt1)-1 (и (O)) диффеоморфно /-1 (є) Xg-1 (0). Пространство g-1 (O) стягивается в точку. Поэтому (Zon1)-1 (и (O)) стягивается на пространство, диффеоморф-ное неособому многообразию уровня Ve(Z). Точно так же пространство (Zojt1)-1 (ц(1)) = Z-1 (0)Xg-1 (&) стягивается на пространство, диффеоморфное неособому многообразию уровня V8 (g). Такое описание слоев отображения (Z0Jt1): (f Qn1)-1 (J)—>-J над точками отрезка J совпадает с описанием прообразов точек ? ? / = [0, 1] 44
ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ СТРОЕНИЕ
[ГЛ. I
при проекции V8 (/) * Ve (g) —і- I (см. определение джойна). Поэтому пространство (Zoji1)-1 (J) гомотопически эквивалентно джойну V8 (/)* Ve (g). Немного более аккуратные рассуждения позволяют превратить это объяснение в доказательство.
В дальнейшем мы будем отождествлять группу гомологий Нп+т-1 (V8 (/©?)) неособого многообразия уровня особенности / © g С тензорным произведением групп Hn__t (Ve if)) и Hm^1 (Ve (?)). Это отождествление определяет также отождествление относительной группы гомологий Нп+т_1 (V8 (f@g), dVe(f@g)) (являющейся двойственной к группе Нп+т_1 (V8 (/©g))) с тензорным произведением групп H^1(VeQ), We ф) и Hm_1(Ve(g), dVe (g)).
Теорема 10 (П. Делинь, см. [147]).
Varf ф* = (—1 y-Var, <g)Var,.
Для доказательства достаточно показать, что для любых классов гомологий O1, а2 ? Hn _ t (Ve (/)), bt, Ь2ЄНт_1 (Ve (g)) имеет место равенство
([Varfdr, (O1 ® &i)]o[a2 ® Ья]) = (—1)"- (Varf1fllOa2) ¦ (Varj1Vfc2)-
Мы не будем подробно проводить это доказательство, а только наметим основные его шаги (впрочем, восстановить его целиком не представляет труда).
Пусть Ht (/)—семейство отображений V8 (/) —* Va_^ 8 (/) = = f-1((l—^)s)n?p, описанное в лемме 10 (для определенности мы считаем, что и (?) = (1—1)&). Как уже говорилось, семейство Ht (J) определяет вложение конуса над многообразием уровня V8 (/) в пространство С". Пусть A1—конус над циклом аг, определенный семейством Ht(J). A1 является п-мерной цепью, граница которой лежит в неособом многообразии уровня V8 (J) и совпадает с циклом at. Пусть I\ (J): V8 (/) —>- Vexp ^mt) є (/)—семейство отображений, получаемое поднятием гомотопии г t—* exp (2ilit) s (0 ^ t ^ 1), a2 = Г4і/2 (f) (а2)—(n—1)-мерный цикл в многообразии уровня V _е (/). Пусть As—конус над циклом аг, аналогичный построенному вьппе. Из рассуждений п. 2.3 выводится, что (Varf1A1 оа2) = (—1)"(Л1оЛ2), причем цепи A1 и A2 пересекаются только в нуле. Точно так же определяются цепи B1 и B2, причем (Varj1Vfc2) = (—1)"^?.
Чтобы определить таким же способом ([Var^g (аг (g) 6Х)]°
°[o2®&2]), надо построить конусы C1 и C2 над циклами Ci1 (X) Ь1
и а2®&2==Г1/2 (/©g) (а2®62). Нетрудно видеть, что в качестве C1 можно взять (A1XB1) Г) \(х, у): (/ (х) + g(у))/г 1}. Аналогичное утверждение имеет место и для C2. В качестве него можно взять A2X B2H {(х, у): (f (x)+'g(y))/(—е)<1}. (Здесь надо воспользоваться тем, что Tt(f@g)(at®bJ = Tt(f)(aJ®rt(g)(bJ.) § 23
ТОПОЛОГИЯ НЕОСОБОГО МНОЖЕСТВА УРОВНЯ
45
Отсюда ([Var^g (а, ® Ь2]) =(—1)«+- (Cl0C2) = (-1)"+- х
X ([ A1 X .B1] о [ A2 X B2]) = (— 1)»•+ » + (Л, о A2) (B1 о B2) = (— 1)»» X X(Varf1Q1Oa2)X(Varg1^1Oft2), что и требовалось.
Пусть {А,} (г = 1, ..., [х(/))—отмеченный базис в группе Hrt-X (Ує (/)) гомологий неособого многообразия уровня особенности /, {А-} (/ = 1, • .., p.(g))—отмеченный базис в группе Hm_1(Vz(g)). Из теоремы 9 следует, что элементы A17 = (Ai-(g) А}) образуют базис в группе Нп+т_1 (Ve (/©g)) гомологий неособого многообразия уровня особенности /(Bg". Матрица пересечений S особенности / © § в этом базисе может быть получена с помощью теоремы 10 из формулы S = — L + (—1 )n+mLT, где L—матрица оператора Var^g (или формы Зейферта). Из нее вытекает
