Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
Определение. Диаграммой Дынкина (или D-диаграммой) особенности называется граф, определяемый следующим образом:
1) его вершины находятся во взаимно однозначном соответствии с элементами A1- слабо отмеченного базиса в гомологиях неособого многообразия уровня стабилизации особенности с количеством переменных N = 3 mod 4;
2) і-я и /-а вершины графа соединены ребром кратности (Ai- о Ду.) (ребра отрицательной кратности изображаются пунктирными линиями).
D-диаграмма особенности определяет ее группу монодромии (хотя эффективное описание последней обычно бывает довольно сложной задачей). Если D-диаграмма особенности (с известным количеством переменных) задана в отмеченном базисе и ее вершины перенумерованы в соответствующем порядке, то по ней можно определить билинейную форму особенности, а также ее операторы вариации, классической монодромии,...48
ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ СТРОЕНИЕ
[ГЛ. I
2.9. Пример. Рассмотрим особенность / (х) = хк+1 (особенность типа Ak по терминологии гл. II ОДО-1). Многообразие уровня Ve состоит из (? + 1) точек—корней степени (k-\-\) из є. Кратность этой особенности равна к, группа гомологий II0 (Ve) (приведенная по модулю точки) изоморфна Zk.
Функция f(x) = xk+1—Xx (X =^ 0) является морсовским шевелением особенности f. Мы будем считать, что X вещественно и больше
нуля. Нулевое многообразие уровня }(0) функции / также состоит из (&-И) точек: хо — 0, Xm= у/Xlm (т = 1, ..., к). Здесь Im — корни к-н степени из единицы, занумерованные в направлении по часовой стрелке: gm = exp(—2 піт/к). Критические точки
функции f определяются из уравнения f (х) = (fe-f 1)хА—Я = 0.
Поэтому f имеет к критических точек рт = \/ Xj(k + 1) ёш с кри-.
тическими значениями Zm=—*]/Xl(k -f 1) Zm (m=l, ..., k).
Выберем в качестве некритического значения Z0 большое по
модулю ^) Z0 J Y \/ХЦк +1) ^ отрицательное число. Пусть
Um—путь, соединяющий критическое значение Zm функции / с нулем по радиусу (um(t) = (\ — t)zm, ^ [0,1]), ?-путь, идущий от нуля к Z0 по отрицательному лучу вещественной оси и обходящий критическое значение zh = — j- \/X/(k -+-1) в положительном направлении (против часовой стрелки). См. рис. 22.
Легко видеть, что система путей {um v} определяет отмеченный базис исчезающих циклов {Дш} в группе гомологий H0 (/-1 (Z0))
z .----^z (так как малым шевелением ее можно
ч\ привести к системе путей, удовлетво-
I_о \ ряющей определению отмеченного ба-
гд Г\ J зиса). Для того, чтобы вычислить ин-
г" *>ч-ч дексы пересечений (Am о i\m') исчезающих
----'Zm циклов в группе гомологий H0 (f~* (Z0)),
Рис. 22. удобно гомотопировать точку Z0 вдоль
пути V до нуля. Тем самым мы сведем задачу к вычислению индексов пересечений исчезающих циклов, определенных в группе H0 (f_1(0)) системой путей \ит) (эти циклы мы также будем обозначать через Am).
Легко показать, что вдоль пути Um исчезает цикл Am = хт—х0 (т. е. при движении в плоскости значений функции f по пути Um от нуля к критическому значению Zm точки хт и X0 сливаются). Следовательно, имеем (Am о Am) = 2, (ArnOAm-)==! для любых тфт'. Для стабилизации f (х) + у\ +соответствующие формулы имеют вид: (Am о Am) = —2, (Am о Am,) = _ 1 для любых тфт'. Мы получим D-диаграмму особенности f следующего вида: к Eep-§ 23 ТОПОЛОГИЯ НЕОСОБОГО МНОЖЕСТВА УРОВНЯ
49
шин, каждые две из которых соединены пунктирным отрезком (т. е. ребром кратности (—1)).
Упростим эту диаграмму при помощи операций замены отмеченного базиса. Операция = —A^ = Aft_1) приводит диаграмму к следующему виду: все вершины, кроме (k — 1)-й, попарно соединены пунктирными отрезками (ребрами кратности (—1)), (&—1)-я вершина соединена толь-
ко с k-n отрезком кратности (+1). One- 2_
рации ай-а(дл-2 = ДА-і> ДА-і = Дй-2). г о о >
G6fe_1, . . ., ах не меняют вид диаграммы, Рис 23
а сводятся только к перенумерации
вершин. Последовательное применение операций afe_1; afe_2, ... ..., a2, ..., a3, ..., aft_l5 afe_2, приводит к класси-
ческой диаграмме Дынкина Ak (рис. 23). Полученный при этом базис исчезающих циклов описывается формулами A? = (xk—Xk^1), A2 = —•••> да-І — (х2—д% = (-?і—
При движении в плоскости значений функции / по пути о от нуля до некритического значения Z0 точки xm (m = 0, 1, ..., k) перемещаются по комплексной плоскости С, приближаясь к лучам
argX = (при Z0—і- — оо). При этом точки X0 и xk сбли-
жаются по вещественной оси, делают по четверти оборота против часовой стрелки вокруг критической точки pk и снова расхо-
п л (2s-j-1) [
дятся. Легко показать, что на лучах argх = yA-f-i)""" vT' е'
X= t-exp ('mflt1}) , функция f{x) = хк+1—%х не прини-
V A + l - і
мает отрицательных вещественных значений, кроме случая четного k и s = k?. Действительно, / (х) = ¦— tb+1—Xt exp 1+"]"^) '
где второе слагаемое вещественно только при четном k и s = k/2. В этом случае по лучу х —— t (t > 0) движется точка Xk/ч- Отсюда следует, что при движении в плоскости значений функции / по лучу V от нуля к значению Z0 точки Xm приближаются к точкам