Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Аввакумова Н.И. -> "Особенности дифференцируемых отображений Том 2" -> 27

Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.

Аввакумова Н.И. , Варченко А.Н., Гусейн-заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений Том 2 — М.: Наука, 1984. — 334 c.
Скачать (прямая ссылка): osobennostidifotobrajent21984.djvu
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 160 >> Следующая


Теорема 3. D-диаграмма любой особенности в отмеченном базисе связна. бифуркационные диаграммы

57

Это утверждение вытекает из теоремы 4 (см. ниже). Такой же результат имеет место и для слабо отмеченного базиса.

Следствие. Пусть ft (х) (t ^ [0, ^0])—деформация особенности f и пусть для малых t функция ft (х) имеет в окрестности нуля в пространстве С" k различных критических точек pt(t), - ••> Pk (')¦ Предположим, что все критические значения ft(pi(t)) (і = 1, ..., k) функции ft совпадают. Тогда k = 1, т. е. функция ft имеет только одну критическую точку (кратности і*(/))¦

Действительно, легко видеть, что если &> 1, то исчезающие циклы, соответствующие разным критическим точкам деформации ft(x) особенности /, будут иметь нулевой индекс пересечения. Поэтому D-диаграмма особенности f распадается на k несвязных компонент, что противоречит теореме 3.

Мы здесь докажем несколько более сильное утверждение, чем теорема 3.

Теорема 4. Группа монодромии особенности транзитивно действует на множестве исчезающих циклов в гомологиях неособого множества уровня вблизи критической точки, т. е. для любых исчезающих циклов A1 и A2 существует элемент из группы монодромии особенности, переводящий A1 в ± A2.

Доказательство. Как и при доказательстве теоремы It рассмотрим миниверсальную деформацию особенности f вида F(x, v) = F0(x, v')—v0, где v' v0 € С, v = (v0,_v'); в каче-

стве шевеления f особенности f возьмем функцию / = F0 (х, v') с фиксированным значением параметров v'. При этом v' выберем так, чтобы функция F.0 (х, v') была морсовской. Это будет выполнено для почти всех значений параметров v' (кроме тех, которые лежат в бифуркационной диаграмме функций особенности). Если/, — (комплексная) прямая p_1(v')(p:0—>-Сд-1—проекция базы мини-версальной деформации), то пересечение L Г) 2S состоит из точек (z,-, v') (г = 1, .. ., р,), где Zi—критические значения функции f.

Исчезающий цикл Aft (k = 1, 2) в гомологиях неособого множества уровня {/=Z0J- определяется путем uk, соединяющим критическое значение Zik с некритическим значением Z0 и не проходящим

через критические значения функции f. При этом для простоты будем считать, что для очень малых t имеем uk(t) = Zik-\-t. Пути M1 и и2 можно рассматривать как пути на комплексной прямой LcCfi. Из неприводимости бифуркационной диаграммы 2е вытекает связность множества неособых точек пространства 2S. Те (неособые) точки пространства 2е, в которых проекция р: 2Є—^Cfi-1 является вырожденной, образуют подмножество (комплексной) коразмерности один. Поэтому их выкидывание из множества неособых точек пространства Se не нарушает его связности. Отсюда следует, что точки (Zii, v') И (Zii, у') можно соединить' путем У 96

топологическое строение

[ГЛ. j1

(и (0)=(zfi, v'), V (1) = (гіз, v')), который будет целиком лежать в множестве неособых точек пространства S8, в которых оно невырожденно проектируется на пространство О-1. Рассмотрим петлю w в дополнении к бифуркационной диаграмме нулей S8 в пространстве С'+ (начинающуюся и заканчивающуюся в точке (z0,v')), которая определяется следующим образом. Она идет от точки (z0, v') до точки (Zii + ^, v') = (W1(^0), v') с достаточно малым /0 по пути W1, затем она идет от точки (zti + ?0, v') до точки (z,a + ?0, v') = («2(^0), v') по пути v-\- (tu, 0), 'идущему параллельно пути и, и, наконец, возвращается в точку (z0, v') по пути и2. Нетрудно видеть, что оператор монодромии Hwil, соответствующий петле w, переводит изчезающий цикл A1 в исчезающий цикл A3 (может быть—с изменением ориентации), что и требовалось доказать.

Теорема 3 является непосредственным следствием теоремы 4. Действительно, пусть D-диаграмма особенности / в (слабо отмеченном) базисе {А,} является несвязной. Из теоремы Пикара — Лефшеца следует, что операторы Пикара—Лефшеца (и их композиции) при действии на базисный исчезающий цикл переводят его в цикл, являющийся линейной комбинацией базисных исчезающих циклов из той же компоненты связности диаграммы. Поэтому в этом случае не существует оператора из группы монодромии особенности /, переводящего базисный исчезающий цикл в базисный ИЬчезающий цикл из другой компоненты связности диаграммы, что противоречит теореме 4. Из этих рассуждений вытекает, что D-диаграмма особенности является связной также и в случае, если кратности ее ребер рассматриваются по модулю m> 1.

Из теоремы 3 можно вывести некоторые свойства оператора классической монодромии особенности. Сформулируем одно утверждение о треугольных матрицах, нужное для этого.

Лемма 1. Пусть AuB—верхние треугольные матрицы размера [ххр. с единицами на диагонали. Предположим, что A Bt — такая матрица, что на пересечении ее первых k столбцов с последними (fx—k) строками стоят нули. Тогда тем же свойством обладает и матрица Bt, т. е. матрица В является прямой суммой верхних треугольных матриц размеров kxk и (р,—k) х (ц—k).

Доказательство не представляет труда.

Теорема 5. Пусть A1, ..., A11—отмеченный базис группы Hп_г (IZg) гомологий неособого множества уровня особенности, I—подмножество множества индексов -Jl,..., [л| такое, что линейная оболочка базисных элементов Ai- с і g I инвариантна относительно оператора классической монодромии hТогда или / = 0 или I = {1, . . ., fx}.
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 160 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed