Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
ТОПОЛОГИЯ НЕОСОБОГО МНОЖЕСТВА УРОВНЯ
41
Легко видеть, что операции ат (т') и ?m (m') взаимно обратны. При нечетном числе переменных п эти операции совпадают. Если отмеченные базисы рассматривать как слабо отмеченные и, в частности, отвлечься от порядка исчезающих циклов, то действие операции Otm совпадает с действием операции am(m + l), а ?m+1-c ?m+1(m).
2.7. Оператор вариации и матрица пересечении «прямой суммы» особенностей.
Определение. Прямой суммой особенностей /: (С", 0)—>-
(С, 0) и g: (С™, 0)—»--(С, 0) функций пит переменных соответственно называется особенность функции (л + m) переменных f®8- (€"+т, 0)—»-(С, 0), определяемая формулой f@g(x, у) == = /(*) + ?&) (x^C», (х, ^)€С»+-»С»фС-).
Лемма 8. Кратность p. (/ ® g) прямой суммы особенностей f и g равна произведению H- (/) И- (§) их кратностей.
Действительно, если f(x)—шевеление особенности f, имеющее {J, (/) невырожденных критических точек Pi, g (у) — шевеление особенности g, имеющее ц (g) невырожденных критических точек q}, то f(x)+g (у)—шевеление особенности fQ)g, имеющее Ji (/) и (g) невырожденных критических точек (Pi, <7у) (i = 1, ..., р, (/); / = 1, ... • Pig))-
М. Себастьяни и Р. Том ([215]) доказали, что оператор классической монодромии особенности равен тензорному произведению операторов классической монодромии особенностей / и g. А. М. Габриэлов ([36]) получил описание матрицы пересечений особенности /©g при условии, что известны матрицы пересечений особенностей / и g в отмеченных базисах. Мы изложим эти результаты в форме, несколько отличной от [215] и [36].
Нам понадобится одно топологическое понятие.
Определение. Джойном (или соединением) X*Y топологических пространств XhF называется факторпространство прямого произведения XxIxY (/ = [0, 1]) по отношению эквивалентности:
(х, 0, у1)~(х, 0, у2) для любых yt, y^^Y, х?Х;
(X1, 1, у) ~ (х2, 1, у) для любых X1, X2 ? X, y?Y.
Можно считать, что пространства X и Y вложены в их джойн X*Y как нижнее и верхнее основания соответственно ({(х, 0, у)\ и {(х, 1, у)}). При этом джойн X*Y можно представлять себе как пространство, заметаемое непересекающимися отрезками, соединяющими все точки пространства X со всеми точками пространства Y. Если рассмотреть проекцию (х, t, y)*—>t джойна Х*У в отрезок /==[0, 1], то прообраз точки 0 совпадает с пространством X, точки 1—с пространством Y, а точки 1) — с произведением XxF.
Если Y—пространство, состоящее из одной точки, то джойн 42
ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ СТРОЕНИЕ
[ГЛ. i
X*Y совпадает с конусом над пространством X. Если У-—пространство, состоящее из двух точек, то джойн X *Y гомеоморфен надстройке над пространством X (факторпространству цилиндра [ — 1, 1 ] X X над пространством X по отношению эквивалентности (— 1, X1) — 1, х2), (1, хг)~(\, х2) для всех X1, X2 ?Х). Если пространство X гомеоморфно ^-мерной сфере Sk, Y — /-мерной сфере S1, то джойн X*Y гомеоморфен (k +14- 1)-мерной сфере Sk+l+1.
Лемма 9. Пусть группы гомологий пространств XuY либо не имеют кручений, либо считаются с коэффициентами в поле. Тогда группа гомологий Hrl(XtY) джойна пространств XuY изоморфна © Нк{Х)®Нп_к_1 (7).
О < к < п-\
Иначе говоря, Н% (X * У) = Hie (X) ® Н.м (Y), где считается, что dim (a ®b) = dim а+ dim Ъ-F-1 для а € Я* (X), b^H* (Y). При этом, если а—цикл в пространстве X, ?—цикл в пространстве Y, то циклом, соответствующим a(g)? в пространстве X*Y, является джойн циклов а и ?. Здесь существенно, что группы гомологий считаются приведенными по модулю точки.
Изоморфизм Я* (X * Y) ^ Я* (X) @ H^ (Y), вообще говоря, определен только с точностью до умножения на (± 1). В случае, когда X и Y—ориентированные многообразия, выбор конкретного изоморфизма определяется выбором ориентации произведения XxIxY. Заметим, впрочем, что формулируемые ниже результаты не зависят от этого выбора.
Пусть f—особенность (С", 0)—)-(С, 0), Ve—неособое многообразие уровня особенности / вблизи критической точки (V8 = f~1 (&) П ?p), и—путь, соединяющий некритическое значение є с критическим значением 0.
Лемма 10. Существует такое непрерывное семейство отображений Ht: Ve = (и (t))f) Bp (t?[0, 1]), что
Г Я0 = id: Ve-Ve;
2° Ht является вложением V8—^Vlim при < 1;
3° H1 переводит V8 в точку 0 ? С".
Доказательство этого утверждения может быть проведено аналогично тому, как в теореме 1 показано, что пространство /-1 (0) П Bp является деформационным ретрактом пространства Г1 (De0) Ct Bp.
Семейство отображений Ht определено однозначно с точностью до изотопии. Оно задает вложение конуса над неособым многообразием уровня Ve в пространство С" ((х, t)—+Ht(x) при
Пусть теперь / и g—две особенности пят переменных соответственно, Ve (/) = /-1 (в) П-?p, И Ve (g") = g~l (є) П Врг—неособые многообразия уровня особенностей / И g, и—путь в плоскости значений функции /, соединяющий є с нулем (не теряя общности, можно считать, что и (O==C—Цг)- Определим путь v, соединяю- § 23
ТОПОЛОГИЯ НЕОСОБОГО МНОЖЕСТВА УРОВНЯ
43
цщй є с нулем в плоскости значений функции g, формулой v(t) = e—«(1 — t). Пусть Hi (/) и Ht (g)—семейства отображений Ye (/) —Va (ff (/) и Ve (g) —>- Va {t)(g), описанные в лемме 10. Определим вложение / джойна Ve (/)» Vb (g) неособых многообразий уровня Ve(/) и Ve (g) в множестве уровня (/(Qgr1 (е)с:Сп+т формулой }(х, t, у) = (Ht(f)x, Hl_t(g)у) при Ve (Z)1 y?Ve(g), t ?[0, 1]- При выполнении естественных ограничений на радиусы
