Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть \и?\—система путей, определяющая отмеченный базис ¦{А,-}- в группе Нп_г (F2n) Нп_1 (Ve) гомологий неособого многообразия уровня. Это означает, что Ui—несамопересекающиеся пути, соединяющие ^критические значення Zi шевеления / функции / с некритическим значением Z0 и пересекающиеся попарно только в точке Z0. Пусть Xi—простые петли, соответствующие путям Ui.
Определение операции ат (1 ^m < (д.). Определим новую систему путей \иг\ следующим образом: Ui = Ui при і Ф т, tn+h "я+1 = "я»; Um = um+lrm. Здесь под ит+1 Xm понимается путь, получающийся последовательным прохождением пути ит+1 и петли тт. Очевидно (см. ниже), что система путей {«,-} определяет слабо отмеченный набор исчезающих циклов {А,}. Нетрудно видеть, что можно немного продеформировать систему путей {и,}
Рис. 19. Рис. 20.
так, чтобы она стала удовлетворять условиям определения отмеченного базиса (рис. 19). Поэтому базис -JAiJ- является отмеченным. Связь базиса {Дг-} с базисом {-А,-} дается следующими формулами: § 23
ТОПОЛОГИЯ НЕОСОБОГО МНОЖЕСТВА УРОВНЯ
39
A1- = A1- при іфт, m + 1; Am+1 = Am; Am = hm (Am+1) = Дя+1 +
гг (П + 1)
(—і) 2 • (Am+1 о Am) Am (преобразование Пикара—Лефшеца). Операцию перехода от отмеченного базиса {А,-} к отмеченному базису {A,-}, описываемую этими формулами, обозначим через а,т.
Определение операции ?m+1 (1 < т < ц,). Пусть система путей {u'i\ определена следующим образом: U1i-Ui при іфт, т-1-1; и'т = ит+1; и'п+1 = UmT-^1 (рис. 20). Эта система путей определяет отмеченный базис {A^J-, связанный с базисом {А,-} формулами: A- = Ai- при іфт, m + 1; Am = AOT+1; Am+1 = Zi-^1 (AJ =
п (п+1)
= Am + (— 1) 2 (Аот+1оАт) Am4vl (обратное преобразование Пикара—Лефшеца). Операцию перехода от отмеченного базиса {А,-} к отмеченному базису описываемую этими формулами, обозначим через ?m+1.
Нетрудно видеть, что операция ?m+1 является обратной к операции ост в том смысле, что последовательное применение их в любом порядке приводит к исходному базису. Рассмотрим свободную группу, порожденную элементами ocm (m = l, . . . , [х— 1). Каждому элементу этой группы (слову из букв ат и а"1) соответ-
ствует операция замены отмеченного базиса (считается, что действие ос-1 на базис совпадает с действием операции ?m+1). Очевидно, что действия операций OcmOcm- и am<am совпадают при I m—m'|^2. Кроме того, совпадают действияопераций ocmocm+±ат и ат + іатат+І ДЛЯ Любого ГП OT 1 до (fx—2). «Доказательство» этого факта приведено на рис. 21.
Таким образом, на множестве отмеченных базисов группы гомологий неособого множества уровня вблизи критической точки действует факторгруппа свободной группы с (fx—1 )-й образующей
OCm (m= 1, . . ., ц—1) по COOTHO- Рис. 21.
шениям OCm+, остост+3 = атост+гат
при 1 ^ /n < fx—1, остат-= OCm-OCm при |т—т'|^2. Эта группа является группой кос из (х нитей (см., например, [50]; см. также п. 3.3).
Рассмотрим операции, сохраняющие слабую отмеченность набора исчезающих циклов. Предварительно покажем, что всякий 40
ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ СТРОЕНИЕ
[ГЛ. I
такой набор образует базис в гомологиях неособого многообразия уровня.
Теорема 8. Любой слабо отмеченный набор исчезающих циклов образует базис в группе Нп_г (Ve) гомологий неособого многообразия уровня.
Пусть {А,-}—слабо отмеченный набор исчезающих циклов, определенный системой путей [Ui), Xi—соответствующие простые петли. Набор петель {г,-} является системой свободных образующих фундаментальной группы «J (U—[Zi); z0) дополнения к множеству критических значений. Чтобы доказать, что набор исчезающих циклов -{А,-} образует базис в группе Hn_1(Ve), достаточно показать, что любой исчезающий цикл А (определенный при помощи пути V, соединяющего критическое значение Zy с некритическим значением Z0) линейно выражается через циклы A1, . . ., Ajl с целыми коэффициентами. Можно считать, что пути и v совпадают около критического значения Zj-. В этом случае петля у = Uj1V может рассматриваться как элемент фундаментальной группы Ji1 (U — [Zi); Z0) дополнения к множеству критических значений. При этом А = ± /і*,Ay- (знак зависит от ориентации исчезающих циклов А и Aj). В группе яt(U—[z(); z„) петля у может быть разложена по образующим T1, —, T11. Следовательно, исчезающий цикл А может быть получен из цикла Ay- последовательным применением нескольких операторов Пикара—Лефшеца Jii и обратных им, а поэтому линейно выражается через циклы A1, ..., A11 с целыми коэффициентами.
Определение операций ат(т') и (/и') замены слабо отмеченного базиса. Пусть {«,-}—система путей, определяющая слабо отмеченный базис {А;} в группе Нп_1 (V8) гомологий неособого многообразия уровня. Для тфт' определим операцию замены базиса &т(т')фт(т')), соответствующую замене пути Um' на путь Um-Xm (Um-Xm1), т. е. переводящую слабо отмеченный базис {AJ в базис {А;}, определяемый формулами
- п(п+ і )
Ai- = Ai- при Іфт', Am- = hm (Am-) = Am. + (—1) 2 (Am-oAm)Am-
n (д+ 1)
.(Am'=h^(An') = Am' + (—1) 2 (АтоАт.)Аю).
Действие операций am (m') и ?m (m') на системе простых петель |т(-} состоит в замене петли хт' на сопряженную ей в фундаментальной группе Ji1 (U-—[z,); Z0) дополнения к множеству критических значений (T^1Tm-Tm для ат{т') и XmXm-Xm1 для ?m(m')). Таким образом, если исходная система простых петель являлась системой свободных образующих группы It1 (U— {z,}; z0), то этим же свойством будет обладать и система простых петель, полученная, после применения операции ат (т') или ?e (m'). Поэтому операции ат(т') и ?m(m') сохраняют слабую отмеченность базиса. § 23
