Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
Определение. Базис группы гомологий Н„_1 (Ve) неособого многообразия уровня, состоящий из отмеченного набора исчезающих циклов {Af}, называется отмеченным базисом. Базис, состоящий из слабо отмеченного набора исчезающих циклов, называется слабо отмеченным.
Теорема 1 утверждает, что любой отмеченный набор исчезающих циклов образует базис. Позже будет показано, что базис образует и любой слабо отмеченный набор (см. п. 2.6).
Замечание. Термины «отмеченный» и «слабо отмеченный» были введены А. М. Габриэловым. В работе [174] отмеченный базис называется геометрическим.
Определение. Группой монодромии особенности / называется группа монодромии (морсовской) функции f.
Нетрудно показать, что множество исчезающих циклов и группа монодромии особенности f не зависят от выбора морсовского шевеления J = fx функции /. Для этого рассмотрим другое такое шевеление J= /у. Шевеления fx и /v могут быть включены в одно двухпараметрическое семейство функций fx. v (fx, о = fx> /о, v = /v)-В качестве такого семейства можно, например, взять fx, i^ fx+fv—/• В пространстве Ca с координатами (x, у) значения параметров (Я, v), которым соответствуют неморсовские функции fx, у, образуют (в окрестности точки (О, 0) ? С2) множество, которое является образом аналитического множества комплексной размерности один. Поэтому оно не разделяет пространство C2 значений параметров
(X, v). Отсюда следует, что шевеления J —fx и f=f'v могут быть соединены непрерывным однопараметрическим семейством морсов-
ских функций 1], /rx1(o)1v(o) = /, h(1). v(i) = /)- Легко
видеть, что вдоль такого семейства морсовских функций не меняются множество исчезающих циклов и группа монодромии.
По тем же соображениям независящими от выбора шевеления являются понятия отмеченного и слабо отмеченного базисов.
Из результатов § 1 следует, что группа монодромии особенности / порождена операторами Пикара—Лефшеца Hi, соответствующими элементам Af слабо отмеченного базиса в гомологиях неособого множества уровня функции / вблизи критической точки. § 23
ТОПОЛОГИЯ НЕОСОБОГО МНОЖЕСТВА УРОВНЯ
31
При нечетном числе переменных п эти операторы являются отражениями в гиперплоскостях, ортогональных (в смысле формы пересечения) исчезающим циклам A1-. Поэтому при нечетном числе переменных группа монодромии особенности является группой, порожденной отражениями.
Примеры. В качестве примеров можно рассмотреть функции f(x)=xs и / (х, (J)=-X3-Ar у2, имеющие особенности типа A2 в смысле ОДО-1. Их морсовские шевеления могут быть выбраны в виде f(x) = x3±Skx и J (х, у) = X3—ЗХх+у2 соответственно, где X — малое положительное число. Отмеченные базисы в гомологиях неособого многообразия уровня и группы монодромии морсовских функций f(x) и / (х, у) (совпадающие с отмеченными базисами и группами монодромии особенностей /(х) и /(х, у)) рассмотрены в примерах к п. 1.2.
2.3. Оператор вариации и форма Зейферта особенности. В п. 2.1 было введено понятие оператора вариации особенности. Для того чтобы изучить свойства этого оператора, дадим другую его интерпретацию ([149], [179]).
Пусть, как и выше, /: (Сп, 0)—»(€, 0)—особенность, т. е. росток голоморфной функции, имеющий в нуле изолированную критическую точку, р—достаточно маленькое положительное число, —сфера радиуса р с центром в нуле в пространстве С". Положим К = /~1 (0) П Spn-1. Из того, что множество уровня /_1(0) трансверсально пересекается со сферой S^'1-1, следует, что К является гладким подмногообразием сферы Sp"-1 коразмерности два. Обозначим через T достаточно малую открытую трубчатую окрестность многообразия К в сфере Sln'1. Определим отображение Ф: Sln~x\T—I-SiI=C дополнения к трубчатой окрестности многообразия К в окружность формулой Ф(х) =»«/ (х)/|/ (х) I = ехр (i arg/(x)). В [79] (§ 4) показано, что отображение Ф является гладким расслоением. При этом ограничение отображения Ф на границу д (Sln~1\T) дТ имеет естественную структуру тривиального расслоения KxS1—I-S1. _
Ограничение функции f на f~1 (Slj П Bp определяет расслоение над окружностью Sl0 радиуса е0, лежащей в комплексной прямой С, слоем которого является неособое многообразие уровня V8o = /-1 (S0) П Bp особенности /. При этом, как было объяснено выше, ограничение функции / на край /-1 (Sgo) П Sp многообразия /-1 (SI0) П Bp также имеет структуру тривиального расслоения. Операторы классической монодромии и вариации особенности определялись с помощью расслоения /-1 (S1Jo) П Bp—Slo.
Лемма 2 (см. [79], § 5). Описанные два расслоения над окружностями S1 и Sl0 эквивалентны (относительно изоморфизма окружностей, являющеюся умножением на е0), В частности, слой Ф"1 (z) расслоения Ф диффеоморфен неособому множеству уровня особенности f вблизи критической точки. 32
ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ СТРОЕНИЕ
[ГЛ. I
Таким образом, при определении оператора вариации Vary, особенности f можно пользоваться расслоением Ф. Как и раньше, через 1\: Ф-1(1)—> Ф-1 (ехр (2ліі)) будем обозначать семейство диффеоморфизмов, являющееся поднятием гомотопии t\~> ¦—>ехр (2nit) (Г0 = id, t ? [0, 1]) и согласованное со структурой прямого произведения на границе.
