Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
Будем временно рассматривать многообразие F1 с ориентацией, определяемой структурой касательного расслоения к сфере. Это означает, что в точке (1,0, ..., 0) многообразия F1 положительно ориентированной системой координат является и2, и3, .. ., ип, v2, v3, ..., vn. Ориентация F1 как комплексного многообразия определяется следующим упорядочением координат: и2, v2, и3, V3, ... ..., ип, vn. Легко видеть, что эти две ориентации отличаются зна-
(П-1) (П-2)
ком (—1) 2
Индекс самопересечения нулевого сечения в пространстве касательного расслоения к многообразию совпадает с эйлеровой характеристикой X этого многообразия. Это утверждение может быть доказано следующим образом. По одному из определений, эйлерова характеристика многообразия N—это количество особых точек общего векторного поля V на многообразии N, считаемых с кратностью + 1 или —1 в соответствии с их индексами (v: N—>- 7W, V (х) ? TxN). Для вычисления индекса самопересечения (NoN) многообразия N как нулевого сечения касательного расслоения TN в пространстве этого расслоения, можно выбрать шевеление N многообразия N в пространстве TN, которое пересекается с N трансверсально "в конечном числе точек, и определить индексы пересечений (NoN) циклов N и N в этих точках. В] качестве 22
ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ СТРОЕНИЕ
[ГЛ. I
такого шевеления можно взять N = {(х, v (х)}, где x?N, v (х) ? ? TxN, V—векторное поле общего вида на многообразии N. Точки пересечений циклов NnN совпадают с особыми точками векторного поля v. При этом несложные вычисления показывают, что индекс пересечения циклов JV и JVb некоторой точке пересечения совпадает с индексом этой точки как особой точки векторного
ПОЛЯ V.
Эйлерова характеристика X (5я-1) (п — 1)-мерной сферы 5"-1 равна 1+(—I)"-1, т. е. равна 0 при четном п и 2—при нечетном. Из того, что многообразие F1 диффеоморфно пространству расслоения дисков касательного расслоения к (п—1)-мерной сфере, следует, что индекс самопересечения исчезающего цикла Д в многообразии F1, ориентированном в соответствии со структурой пространства касательного расслоения к сфере на нем, равен % (S"-1)= = 1+(—l)n_1. Отсюда вытекает следующий результат:
Лемма 4. Индекс самопересечения исчезающего цикла А в комплексном многообразии F1 равен
(«-ix«-.) Г 0 nPu я = 0mod2,
(ДоД) = (—1) 2 . (1 -)-(—і)«-!)= І +2 при я == Imod4,
[ —2 при n ss 3 mod 4.
По теореме двойственности Пуанкаре относительные группы гомологий Hk (F1, BF1) являются нулевыми при 1гфп—1, группа Hn-^F1, OF1) изоморфна группе Z целых чисел. При этом группа Нп_х (F1, dFj) порождена относительным циклом v> двойственным к исчезающему циклу Д, т. е. таким, что индекс пересечения (V ° А) равен единице. В качестве представителя цикла V может быть выбрано неособое подмногообразие
T = !(X1, ...,хп) ZF1: U1 > 0, Uz= ... =Un = O]
многообразия F1, ориентированное подходящим образом. При диффеоморфизме многообразия уровня Fi с пространством касательного расслоения к сфере, построенном в лемме 3, подмногообразию T соответствует слой этого расслоения, т. е. шар в касательном пространстве к сфере S"-1 в точке (1,0, ..., 0).
Рассмотрим ограничение отображения / на /-1 (D1)N4B2 (B2 — открытый шар радиуса 2, D1—замыкание диска радиуса 1 в плоскости С). Оно определяет локально тривиальное, а следовательно, и тривиальное, расслоение /-1 (D1)XB2 —* D1 над единичным диском D1. Поднятие Tt гомотопии 11—> х' (t) = ехр (2лИ) до гомото-пии слоя F1 может быть выбрано согласованным со структурой прямого произведения на пространстве этого расслоения /1-1 (D1)XB2. Относительный цикл б размерности k из (F1, SF1) может быть §1] ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПИКАРА — ЛЕФШЕЦА
23
представлен в виде o = o1 + oa, где S1—относительный цикл из (F^dF1), а Sa—цепь в Ft\B2. Преобразование обхода Ztx,- Г* неподвижно на Tr1N4Zf2. Поэтому оно сохраняет цепь <5а и нетривиально действует только на цикл S1. Таким образом, varT, (б)= =vart- (S1) (здесь мы используем одни и те же обозначения для операторов монодромии varT,, соответствующих парам (Mn1 дМп) и (B2, дВ2)). Если размерность k цикла S отлична от (п—1), то S1 = O в группе относительных гомологий Hk(FltOF1) (так как сама эта группа является нулевой). Отсюда вытекает следующее утверждение:
Лемма 5. Во всех размерностях, кроме (п—1)-й, оператор вариации Vart, является нулевым, а операторы Zit <* и —тождественными.
Если A = dim 6 = (и—1), то S1 = Zn-V в группе гомологий Hn_-L(F1, OF1). При этом т — (S о Д). Поэтому для того, чтобы определить действие оператора вариации varT,, достаточно вычислить класс гомологий vart, (v).
Теорема Пикара—Лефшеца.
varT, (V) = (—1)" <п+1>/2Д.
Следствие. Для a^Hn_1(FZa, dFZt>) varT (a) = (—1)" (а + і)/з (а 0 д)д> АЙ (а) = а + (— 1)" <"+ D/2 (а ° Д) (Д); для а ? Нп_г (Fza)
Zit* (а) = о + (—1)» <» + і)/« (а о Д) Д.
Последняя формула обычно называется формулой Пикара — Лефшеца. Для нечетного числа переменных п она вместе с леммой 4 показывает, что оператор Пикара—Лефшеца hx* является отражением пространства Нп_х (FzJ в гиперплоскости, ортогональной (в смысле формы пересечения) соответствующему исчезающему циклу Д.
