Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство теоремы Пикара—Лефшеца может быть получено с помощью элементарных, хотя и довольно громоздких, прямых вычислений (см., например, [54]). Мы приведем ниже ее более инвариантное доказательство (см. п. 2.4). Здесь мы докажем ее для случая нечетного числа переменных п.
Существует естественное поднятие Qf гомотопии >т'(/)= =ехр (2nit) (0< 1) до гомотопии слоя F1 >Fx,<t>, не согласованное, впрочем, со структурой прямого произведения на краю. Это поднятие задается формулой Qt (х) = exp (nit) х. Гомотопия Qi не годится для определения действия оператора вариации varT,, но нетрудно видеть, что с ее помощью можно определить действие оператора монодромии Zit-* на группе Hn_1(F1) гомологий 24
ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ СТРОЕНИЕ
[ГЛ. I
слоя. Очевидно, что преобразование Q1 является умножением на (—1). В частности, на исчезающей сфере А оно совпадает с отражением в центре. Отсюда следует, что Q1, (A) = Zir-* (А) = (— 1)ПД.
Пусть і»: Нп_х (F1)-(Zf1, dFj) — естественный гомоморфизм, индуцированный включением F1 с_» (F1, SF1). Поскольку (А о А) = (і» (А) о А), (у о А)=» 1, то из леммы 4 вытекает, что
{п-1) (п-2) ( 0 при« = Omod 2,
і* (А) = (—1) 2 (1+(-1)-1) у = ] ^
( 2 (— 1) 2 у при/г = 1 mod 2.
Так как группа Hn^1(F1) гомологий слоя изоморфна группе целых чисел и порождена исчезающим циклом А, то varr, (V)=WiA для некоторого целого числа т. Из того, что Zix-* = id + varr, ¦ і», для нечетного числа переменных п получаем —A = Ztr', (А) = А+
п-1 п-1
+2(—1) 2 varr, (V) = А + 2 (—1) 2 тА. Отсюда следует т=
п+1
= (—1) 2 , что (для нечетного п) совпадает с утверждением теоремы Пикара—Лефшеца.
§ 2. Топология неособого множества уровня
и оператор вариации особенности
2.1. Неособое множество уровня особенности. Пусть/: (Сп, 0) —-—і-(С, 0)—особенность, т. е. росток голоморфной функции, имеющий в нуле изолированную критическую точку. Из теоремы о неявных функциях следует, что в окрестности нуля в пространстве С" множество уровня /_1 (є) при S =T^ 0 является неособым аналитическим многообразием, а множество уровня /-1 (0) является неособым многообразием вне нуля. В точке 0 ? Cn это множество уровня имеет особую точку.
Лемма 1. Существует такое р > 0, что сфера Sr a Cn радиуса г ^p с центром в нуле трансвереально пересекается с множеством уровня /-1(0).
Действительно, функция ||х[[2 может принимать на множестве /-1 (0) (в окрестности точки 0 ? С") лишь конечное число критических значений (для случая, когда /—полином, это утверждение, например, автоматически вытекает из «леммы об отборе кривых» из [79]; в общем случае оно выводится из аналогичных соображений). Выберем в качестве р такое число, квадрат которого меньше всех критических значений функции IX I/2 на многообразии /_1(0)—0. Условие того, что все критические значения функции IjxjJ2 на /-1(0)—0 больше, чем р2, эквивалентно тому, что при г kz. р сфера Sr радиуса г с центром в нуле (являющаяся многообразием уровня функции |х|2) трансверсально пересекается с многообразием /-1(0)—0. § 23 ТОПОЛОГИЯ НЕОСОБОГО МНОЖЕСТВА УРОВНЯ
25
Из леммы 1 следует, что для достаточно малого е0 > 0 многообразие уровня f~x (е) также трансв_ерсально к сфере Sp при І є I S^e0- Таким образом, функция /: Bp-* С удовлетворяет условиям 1°—3° п. 1.1 (с шаром Bp радиуса р с центром в нуле в качестве M-", диском D8, радиуса S0 с центром в нуле в плоскости С в качестве U и единственной критической точкой 0). Нас будет интересовать топология множества уровня /_1(є) в окрестности нуля.
Определение. Неособым множеством уровня особенности / вблизи критической точки 0 называется множество
Kj = T1OOnBp = ^Cn: f(x) = &, И<Р}
при О < I S Ke0, которое является комплексным многообразием с краем.
Многообразие V8 определено однозначно с точностью до диффеоморфизма. Известно ([79]), что оно имеет гомотопический тип букета нескольких сфер размерности (п—1). Количество ц=|x{f) этих сфер называется кратностью или числом Милнора особенности /. Группы гомологий Hk (Ve) неособого множества уровня являются нулевыми при Ііф(п—1), Нп_1 (Vs) sa Z^—свободная абелева группа с ц образующими. Утверждение о группах гомологий Hk (V8) неособого множества уровня мы докажем ниже (см. теорему 1). С небольшим дополнением (доказательством односвязности многообразия Ve, которое выводится из тех же соображений, что и теорема 1) отсюда вытекает и результат о гомотопическом типе неособого множества уровня (для п > 2).
Фундаментальная группа Jt1 (D8o—0) дополнения к множеству критических значений изоморфна группе целых чисел и порождена классом петли у0, обходящей критическое значение 0 один раз в положительном направлении (против часовой стрелки). Можно, например, положить
Yo (0 = є¦ exP(2ш7) (|в|<вв> /€[0, 1]).
Определение. Классической монодромией h: Ve —»-Ve особенности f называется монодромия hVo петли V0. Оператором классической монодромии особенности / называется автоморфизм /г» = Zi-V0* группы Нп_1(Уг) гомологий неособого множества уровня Ve.
Оператором вариации особенности / называется оператор
