Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
/<е,. Нетрудно видеть, что при этом семейство Gt (0<^^є0) естественным образом доопределяется до семейства Gt с 0 t ^e0, 28
ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ СТРОЕНИЕ
[ГЛ. i
в котором отображение G0 является деформационной ретракцией множества X на нулевое множество уровня /-1 (O)D^r0 •
Если /—достаточно малое шевеление функции f, то пространство X диффеоморфно пространству X (как гладкое многообразие с углами; на самом деле достаточно того, что X гомотопически эквивалентно X) и поэтому тоже стягиваемо.
Функция / отображает пространство X в диск Dgo и вне критических значений Z1, Z2, ..., Zn является локально тривиальным
расслоением со слоем FZa. Рассмотрим объединение U Ui (t) = V
і. t
образов путей Ui. Оно является деформационным ретрактом диска- D8o. Нетрудно видеть, что деформационная ретракция диска Dg0 на пространство V может быть поднята до деформационной ретракции пространства X на пространство Y=J^1(V) (аналогично тому, как деформационная ретракция диска D8o в точку 0 поднимается до деформационной ретракции пространства X на нулевое множество уровня /-1 (0) П Bp). Если из пространства Y выкинуть особые слои /-1 (Zi), то оставшееся пространство м- _
Y—U 1 (Zi) будет расслоено над стягиваемым пространством
і = і
V—Iz1-Ii=I, ..., fx}. Следовательно, оно гомеоморфно прямому произведению слоя Fza на пространство V—Iz1-It = I, .. ., jx} и поэтому гомотопически эквивалентно слою F2o.
Нетрудно показать, что с точностью до гомотопического типа пространство Y получается из слоя F2a заклеиванием исчезающих сфер A1- n-мерными шарами Ill1-. Здесь мы определим только отображение в одну сторону, определяющее гомотопическую эквивалентность рассматриваемых пространств. Пусть s1- (/): S?-1 —S1(^)C cr^aiU) (0=?? ^ s^l)—семейство отображений стандартной (п—1)-
мерной сферы ST'1 (индекс і просто фиксирует номер экземпляра), определяющее исчезающий цикл A1-= s1-(I) (s,-(0): sni^1—^pi). Пусть III1-—я-мерный шар, являющийся конусом над сферой S?-1 (IIIi = [0, 1]XSrVO XSrI'1). Пространство F2o и {д.} IUI,-}, получающееся из слоя Fza заклеиванием исчезающих циклов A1- «-мерными
м-
шарами IIIi-—это факторпространство F2oU (J LLi1- по отношению
і = 1
эквивалентности Si (1) (а) ~ (1, а) (а Є S"'1, (1, a) Z і = 1, ..., fx). Отображение ф его в пространство Y, которое является гомотопической эквивалентностью, может быть задано следующим образом: ф(х) = хпри х Z F2 с Y, y(t, 0.) = 81(()(0) при й) ^ Ш(, 0</< 1, a zsr1.
Имеет место точная гомологическая последовательность пары § 23 ТОПОЛОГИЯ НЕОСОБОГО МНОЖЕСТВА УРОВНЯ
29
(YtY-Uj-1^i)):
... Нк+1 (Y) — Hk+1 (Y, Y- U /-1 (Zi)) —>¦ Hk (Y— и J-^zi))
C=I ?=1
-+Hk(Y)^...
Здесь Hi (Y) = 0 (поскольку пространство Y гомотопически эквивалентно стягиваемому пространству X; напомним, что гомологии рассматриваются приведенными по модулю точки),
м- - м. (О при кфп—1,
Zf^Or.K-^1A-^ при кшма_и
IA -
Hh(Y— U Г1 (Zi)) = Hk (Fz). Из точности последовательности сле-
I=і
дует, что
и _ I 0 при k^n—1,
причем образующая группы Hn (LLI1-, d LII2-) переходит в исчезающий цикл Л,-. Отсюда и следует утверждение теоремы.
Нетрудно видеть, что из рассмотрения точной гомотопической
H -
последовательности пары (Y, Y— U выводится односвязность
і= і
м-
пространства Y— U f 1(г,-) или, что то же самое,— односвязность 1=1
неособого множества уровня Fzo при п > 2.
Из теоремы 1 вытекает, что кратность критической точки особенности / равна количеству невырожденных критических точек, на которые она распадается при шевелении общего вида. Это количество равно количеству (близких к нулю) прообразов общей точки при отображении df: С" —+¦ С" (df (X1, . . ., хп) = (Ofldx1 (х) . . . ..., df/dxп(х)). Отсюда может быть получена следующая формула для кратности изолированной критической точки функции /:
ц(/) = dimc?l(dfIdx1, ..., dfldxn),
где „б—кольцо ростков в нуле голоморфных функций п переменных, (df/dx^ ..., df/dxn)—идеал в кольце „6, порожденный частными производными функции / (якобиев идеал ростка /). Это утверждение доказано в ОДО-1, § 5.
2.2. Исчезающие циклы и группа монодромии особенности. В п. 2.1 было показано, что почти все шевеления / особенности /: (О, 0)—»-(С, 0) являются морсовскими, т. е. имеют в окрестности нуля в пространстве С" только невырожденные критические точки в количестве, равном кратности особенности f, причем все критические значения Z1, ..., Zll функции / различны. При этом зо
ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ СТРОЕНИЕ
[ГЛ. I
неособое множеатво уровня Ve особенности f диффеоморфно неособому многообразию уровня F^=J'1 (Z0)H Bp функции /. Наличие такого диффеоморфизма позволяет ввести следующие определения.
Определ єни е. Исчезающим циклом А в группе гомологий Нп_г(уг) неособого множества уровня особенности f называется элемент этой группы, соответствующий циклу в группе гомологий Hn-1 (Fza) неособого множества уровня функции /, исчезающему вдоль пути, соединяющему некоторое критическое значение Z1 функции / с некритическим значением z0.
