Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
критическим значением 0, являются одномерные циклы A1 и A2,
¦у X 1У X 'У X
Zi г JTj X, Л-' Xi
г I- -O г =Z KA?
Рис. 13.
изображенные на рис. 14 (пунктиром показана часть цикла, лежащая на втором листе поверхности; ориентации исчезающих циклов опять могут быть выбраны произвольно).
Пусть опять и — путь, соединяющий некоторое критическое значение Zi с некритическим значением Z0.
Определение. Простой петлей, соответствующей пути и, называется элемент фундаментальной группы Jt1 (U— [Zi], Z0) дополнения к множеству критических значений, представленный петлей, идущей по пути U ОТ ТОЧКИ Z0 к точке Zi, обходящей точку Zi в положительном направлении (против часовой стрелки) и возвращающейся по пути и Рис. 14.
в точку Z0.
Область U с выколотыми из нее ц критическими значениями ^zi Ji = I, ..., jLt} функции / гомотопически эквивалентна букету ц окружностей. Поэтому фундаментальная группа ^1 (U — [Zi], Z0) дополнения к множеству критических значений функции f является свободной группой с (я образующими. Если {«,|i=l, ... ..., JU}—система путей, определяющая отмеченный набор исчезающих циклов {Аг-}, то группа щ (U — [Zi], г0) порождена простыми петлями T1, ..., Тц, соответствующими путям U1, ...,U1J..
Определение. Набор исчезающих циклов A1, ..., Att, определяемый набором путей [Ui], называется слабо отмеченным, 18
ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ СТРОЕНИЕ
[ГЛ. I
если фундаментальная группа Ji1 (U— [ZiI, Z0) дополнения к множеству критических значений является свободной группой с образующими T1, ..., Tli, соответствующими путям U1, ..., Uii.
Заметим, что перестановка элементов сохраняет слабую отмеченность набора, но не сохраняет его отмеченность.
Если набор путей [UiIi=I, ..., ц} определяет слабо отмеченный набор исчезающих циклов {Ai-J- в группе (п—1)-мерных гомологий неособого многообразия уровня, то группа монодромии функции / порождена операторами монодромии hx * простых петель т,- (t' = 1, ..., (я), соответствующих путям Ui. Поэтому группа монодромии (морсовской) функции f всегда является группой, порожденной (х образующими.
Определение. Оператор монодромии Hl = Iix*: H*(Fza)—>
—Hx(F2o) простой петли T1- называется оператором Пикара — Лефшеца, соответствующим пути Ui (или исчезающему циклу А,-).
Примеры. 1) Рассмотрим морсовскую функцию f(x)=*x*~j-+ ЗАх из примера 1*) к определению отмеченных наборов исчезающих циклов. Пусть т,-—простая петля (с началом и концом в точке Z0), соответствующая пути Ui. При движении некритического значения z вдоль петли T1 многообразие уровня \f = z\ меняется следующим образом: точки X1 и х\ сближаются, делают по полоборота вокруг общего центра, меняясь местами, и расходятся на прежние места; точка xl возвращается на свое место. Поэтому монодромия hXt петли T1 меняет местами точки X1" и Ii' и сохраняет точку xl. Отсюда следует, что Zi1A1 = Ziti*A1 = Zit,* (|x?J— — {*;}) = {*!} —{л?} =— A1, Zi1A2 = hTl,A2 = ZiTl* (|х3*} — |ха*}) = = [xl)— Ix^j- = Aa-I-A1. Точно так же ZiaAa = — A2, ZiaA1 = A2-f A1.
Группа Нп_1 (Fz, dFz) гомологий неособого многообразия уровня по модулю края является группой, двойственной к группе Нп_1 (Fx) (приведенной по модулю точки при п= 1). В данном случае ее роль исполняет группа обычных нульмерных гомологий многообразия уровня {f = z%) (состоящего ИЗ трех точек X1, ХІ И Xs), профакторизованная по подгруппе, порожденной «максимальным циклом» {xl) + |х2} + {хз}. Она порождена двумя циклами V1HVa такими, что (V1-OAy) = Sl7-. В качестве таких циклов можно взять V1 = ¦— [xl}, V2 = {хз)- Из описания преобразования монодромии Zit, следует, что VarriV1 = —\xl\ + {xi\ = —A1, varTtV2 = 0. Для петли т2 имеем varTi! V1 = O, varT2V2 = — A2-
Рассмотрим теперь петлю т, определяемую формулой т (і) = = Z0 ехр (2ліі). Петля т обходит критические значения функции / один раз в положительном направлении (против часовой стрелки) по кругу большого радиуса. Из того, что при больших | z | множество уровня {/ = z] близко к множеству уровня \x3 = z), следует, что преобразование монодромии Ivl петли т переводит точки X1, X2 и Хз друг в друга циклически (X1—»х2—>х*г—^x1). Отсюда вытекает, что ZiT,A1 = Zir, (|х*[ — |х^}) = |xs*} — |ха} = A2, ZirtA2 = §1]
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПИКАРА — ЛЕФШЕЦА
19
== hx*({xl} — = \хї\ — ^лгз> = — A1 — A2. Эти соотношения можно вывести также из того, что петля т гомотопна произведению T2T1 простых петель т2 и T1 и, следовательно, hT* =hx h2.
VartT1 = - і X2 [ + {хП
2 "
Для оператора вариации имеем: varTV2= Kl-^ = -A1-A2.
Группа монодромии морсовской функции f порождена операторами Zi1=Zitl, и Zi2 = Zitz* монодромии петель T1 и т2 (операторами Пикара—Лефшеца). Все элементы этой группы сохраняют форму пересечений в группе H0(Fz*) гомологий неособого многообразия
уровня (приведенной по модулю точки), порожденной исчезающими циклами A1 и A2. Чтобы описать группу монодромии нагляднее, рассмотрим на евклидовой плоскости шестерку векторов длины V 2, составляющих друг с другом углы, равные (я/3) (рис. 15). Нетрудно видеть, что группа H0 (Fz*) (как модуль над кольцом
