Особенности дифференцируемых отображений Том 2 - Аввакумова Н.И.
Скачать (прямая ссылка):
целых чисел с целочисленной билинейной формой на нем) изоморфна целочисленной решетке на плоскости, порожденной векторами A1 и A2 (см. рис. 15; шесть векторов, изображенных на рисунке, — это элементы решетки, квадраты длин которых равны 2). При этом оператор Zi1 реализуется отражением относительно прямой L1, ортогональной вектору A1, а оператор Zia—относительно прямой L2, ортогональной вектору A2. Отсюда следует, что группа
преобразований решетки, порожденная операторами Zi1 и Zi2 (группа
монодромии морсовской функции f), изоморфна группе S(3) перестановок трех элементов (а именно — трех векторов (2Aj + A2, (— A1+ A2) и (— A1—2A2)).
ff ' Г,
^^¦sT1 X
-—
Рис. І 5.
Рис. 16.
2) В примере 2) описание многообразия уровня \f = z\ как двулистного разветвленного накрытия над плоскостью комплексной переменной х, ветвящегося в трех точках, позволяет проследить за действиями преобразований монодромии Zitl и Zit, и получить соотношения Zi1A1 = A1, Zi1A2 = A2 + Aj, Zi2A1 = A1-Aa, ZiaA2 = = A2, VartlV1 = -A1, vartlV2 = 0, Vart2V1 = O, VartjV2 = -A2. Мы не будем проводить здесь соответствующие геометрические рассмотрения, оставив их читателю *). Укажем только относительные
*) Они аналогичны тем, которые проводились во введении для более простого случая. 20
ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ СТРОЕНИЕ
[ГЛ. I
циклы, которые могут быть взяты в качестве V1 и V2 (образующих группы H1 (Fzi,, dFz„) относительных гомологий неособого
многообразия уровня функции / по модулю края таких, что (V,-°A/) = Si7): см. рис. 16.
Группа монодромии морсовской функции / (х, у) = х3—3Xxу* изоморфна подгруппе группы невырожденных матриц размера
(2x2), порожденной матрицами Q 1) и (—і і) ' соответствующими операторам Пика|ра—Лефшеца Zi1 и Zi2. Эта группа совпадает с группой всех целочисленных матриц с определителем (+1).
1.3. Теорема Пикара — Лефшеца. Пусть т—простая петля, соответствующая пути и, соединяющему критическое значение Z1 с некритическим значением z0, A g Нп_1 (FzJ -—цикл, исчезающий вдоль пути и. Мы хотим определить действие операторов varT и Zit* в соответствующих группах гомологий.
Не ограничивая, общности, можно считать, что критическое значение Zi — и (0) равно нулю, в окрестности критической точки
Pi функция f имеет вид /(X1, .. ., хп) = (при достаточно ма-
/
лом IKat1, ..., х„)|, например, при 21х/12 5Ss 4е2; в точке р; все
/
локальные координаты Xj равны нулю), некритическое значение Z0 достаточно близко к критическому значению 0 (например, |z„| = = є2), a u(t) = tz0. Кроме того, мы будем предполагать, что все ненулевые критические значения функции f по модулю больше 4е2. Линейная "замена координат позволяет считать, что 8=1, Z0 = 1. Петля т может быть заменена гомотопной ей петлей т': х'(t) = = ехр(2яit), 1].
Пусть г~г(хх,...,хп)=\\х! = (21 1а) v 2 = (2 1/2 -нор-
ма вектора х = (хл, . .., хп). Обозначим через Fz пересечение множества уровня Fz с (замкнутым) шаром В2 = \(хг, ..., хп): г ^ 2} радиуса 2 в пространстве Cn.
Лемма 2. При 121 < 4 множество уровня Fz трансвереально к (2н—1)-мерной сфере Si = дB2 (множество уровня Fz является многообразием при z Ф 0, нулевое множество уровня F0 является многообразием всюду, кроме нуля).
Доказательство. Пусть X^FzPlS2 и множество уровня Fz не трансверсально к сфере S2 в точке х. Тогда dr*(x) линейно выражается через df (x) и df (х), т. е. _dr*(x) — <zdf(x) + $df (х), где O1 ? ? С. Имеем df (i) = 2 2Xjdxp df(x) = 2 TlXjdlcj, dr2(x)= = 2 xj dx;- -j- У] Xj dxf, откуда следует, что Xj = 2a.Xj- (/=1, ¦ .., n). Ho не все координаты Xj равны нулю. Поэтому 12<х | = 1, а значит, гг (х) = 2а/ (х), I / (х) I = г2 (х) = 4, что и требовалось доказать.
Из этой леммы следует, что множества Fz = FzHB2 являются при 0 < I z I < 4 многообразиями с краем, диффеоморфными между §1]
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПИКАРА — ЛЕФШЕЦА
21
собой. Очевидно, что множество F0 является конусом с вершиной в нуле и поэтому стягиваемо.
Лемма 3. При 0<|z|<4 многообразие Fz диффеоморфно пространству расслоения дисков касательного расслоения к стандартной (п — 1 )-мерной сфере Sn-1.
Доказательство. Не теряя общности, можно считать, что Z = 1, т. е. рассматривать многообразие F1. Пусть Xj=UjArVOj, где Uj и Vf вещественны. В координатах Uj, Vj многообразие F1
задается уравнениями ^ "/—S0?= ^ 2"/°/ = 0< + В вещественном векторном пространстве К2" с координатами u-, Vj (/ = 1, • .., п) пространство расслоения дисков касательного расслоения к стандартной (п — 1)-мерной сфере, лежащей в пространстве Rn, может быть задано в виде ^uf = I, 2"/t>~=0, 2 v)^ р2 (р > 0—радиус дисков расслоения, от которого тип пространства расслоения как дифференцируемого многообразия, конечно, не зависит). Нетрудно проверить, что преобразование и. = UjIVrT иЬ v/= vJ заДает требуемый диффеоморфизм (при P2 = 3/2).
Отсюда следует, что Hk(F1) = 0_ при кфп—1, Hn_1(F1) = Z. При этом группа гомологий Нп_х (F1) порождена исчезающим циклом Пикара—Лефшеца A, представленным стандартной (п — 1)-мерной сферой S"-1 = \(хг, . . ., хп): 2и/~ =
