Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Vy : \(1 - Dl)W(y)\ < C(p , m)(1 + y2)-1 \\ф \ (2p + m + 2 , S)||.
Из этого и предыдущего неравенств следует неравенство
V(m,p): sup{|(1 + х2)^тF(ф)(х)| \ х Є R1} < C(p, т)'\\ф \ (2p + m + 2 , S)|,
из которого и следует утверждение леммы.
Так как преобразование Фурье свертки двух функций есть произведение преобразований Фурье этих функций, то из доказанной леммы вытекает
Следствие 6.1.1. Если ф, гф Є S(R1), то их свертка:
/+те ф(уЖх - y)dy е
принадлежит пространству S(R1).
Пространство Шварца функций в Rd.
Укажем, какие изменения нужно сделать в предыдущих рассуждени-
Rd.
предыдущих рассуждениях
х (хі , х2 , . . . 3^d)?
m = (ml, m2 , ... md), \m\ = ml + m2 + • • • md.
(6.7) (6.8) (6.9)
401
Далее в предыдущих рассуждениях нужно заменить суммирование по индексам 0 < m < N на суммирование по индексам 0 < |m| < N, интеграл по прямой нужно заменить на интеграл по пространству Rd, оператор D2 нужно заменить на оператор Лапласа Ду. Все остальные рассуждения и формулы остаются без изменения.
Формула (6.5) верна и в многомерном случае, если положить по определению
v(eєRd): г = С1 C2"12•••G^.
Ниже мы будем считать, что наши рассуждения относятся к пространству Шварца функций в Rd. Таким образом, в дальнешем мы полагаем
||ф | (N,S)|| := Y + x2)p/2|D"ф(х)Ц x є Rd}. (6.10)
0<H<W, 0<p<N.
6.1.2 Сходимость в простанстве S(Rd).
Введем понятие сходящейся в пространстве S(Rd) последовательности.
Определение 6.1.3. Последовательность {фп} С S(Rd) сходится к функ-ф є S S(Rd)
VN : ||(фп - ф) | (N,S)|| — 0 , n — оо. (6.11)
S(Rd)
чать так:
фп — ф , П — Оо.
ф) | (N,S)||
ф) | (N,S)Ц-
Положим
/ і \N
V^, ф Є S) : ds(ф,ф):= Y U Г
Ясно, что условие (6.11) эквивалентно условию
ds (фп , ф) — 0 , n — оо.
Читателю предлагается проверить, что следующие последовательности
S
exp(-(nx2 + х-2)) , (exp(-x2/n) - 1)ф(х) , ф Є S(Rd), (6.12)
а последовательность
(1/n)100 exp(-nx2) S(Rd)
402
Определение 6.1.4. Последовательность {фп} С S(Rd) фундаменталь-S(Rd)
VN : lim sup || (фп+m - фп) | (N , S) || = 0. (6.13)
п->°о m>0
{ ф п}
S( Rd)
странстве S(Rd).
Доказательство. Необходимость доказывается дословным повторением доказательства необходимости условия Коши для сходимости последовательности в метрическом пространстве. Докажем достаточность, т. е. полноту пространства Шварца относительно метрики dS.
Пусть Bn -пополнение пространства S(Rd) то норме || | (N , S)||.
{фп} S(Rd)
то она фундаментальна в каждом пространстве Bn, поэтому
VN, 3(ф(м) Є Bn) : ||фп - ф(И^| — 0 , n — то.
Так как
bn+1 С bn ,
то
+1) = ф(N) := ф Bn = S(Rd),
0<N<oo
и
VN : ||фп - ф | (N,S)|| — 0 ,n — то,
{ ф п}
d) ф
6.1.3 Непрерывные операторы в пространстве основных функций.
Определение 6.1.5. Линейный оператор
A : S(Rd) — S(Rd) (6.14) непрерывен в пространстве Шварца, если из условия
фп — 0 , n — то (6.15)
следует, что
А(фп) — 0 , n — то. (6.16)
403
Теорема 6.1.2. Линейный оператор
A : S — S
непрерывен в пространстве Шварца в том и только том, случае, если VN, 3(C(N) , M(N)) , Уф Є S :
||А(ф) | (N, S)|| < C(N)||ф | (M(N) ,S)||. (6.17)
Доказательство. В доказательстве нуждается только необходимость
A
полнено. Тогда существует такое N0 и такая поеледовательность фп Є S, что
||А(фп) | (No ,S)||> п2|фп | (n,S)||.
Положим
Фп = фп/(п||фп | (n, S)||) .
Так как
V(n > M) : ||фп | (M , S) || < ||фп | (n, S) || = 1/n — 0 , n — со,
то
фп — 0 , n — со.
Но
||А(фп) | (No ,S)|| > n — с , n — со,
A
Из доказаной теоремы вытекает
Теорема 6.1.3. Операции дифференцирования, умножения на полином, невырожденной линейной замены переменных:
ф(х) — ф(Ах + b), defA = 0,
преобразования Фурье и обратного преобразования Фурье непрерывны в пространстве S(Rd).
6.1.4 Пространство пробных функций
Определение 6.1.6. Компактное множесво K1 строго содержится в компактном множестве K2:
Ki <е K2,
если существует такое открытое множество O, что
404
Определение 6.1.7. Заданная в пространстве Rd функция ф(х) принадлежит пространству D(Rd), если носитель функции ф(х) компактен и функция ф(х) бесконечно дифференцируема.
Положим
У(ф , шррф <ш K) :
||ф | (N , D(Rd) ,K )|| := Y «пр{|Джтф(х)|| х Є K}.
0<|m|<N
Определение 6.1.7 эквивалентно следуещему:
(ф Є D(Rd)) ^ (ЗК^ррф <s K , VN : ||ф | (N , D(Rd) ,K)|| < то),
где K -компактное в Rd множество.
При расмотрении функций из пространства D(Rd) полезно иметь пример функции типа "шапочка" (или "гриб"). Приведем пример такой функции.
Пусть t Є R1. Положим
, . . I exp(—(1 — t2)-2) , если |t| < 1,
фо(*) = S , ,
10 , если |t| > 1.
Определим константу C из условия
/+те фо(*)<й = 1 -те
и положим
фі(*) = C f фо(Є)^е,
J-OO
к(х , х0 , R , б) = ф1((Д2 — (х — х0)2)/е2). (6.18)
Функция к(х, х0 , R, б) бесконечно дифференцируема и удовлетворяет условиям:
Vx : 0 < к(х, х0 , R, б) < 1,
1 , (х — х0)2 < R2 — б2, 0 , (х — х0)2 > R2 + б2.
Иногда удобнее рассмотреть функцию вида
к(х) = кі(хі)... ftd^d), х = (хі,... Xd) Є Rd,
405
где
Kj (xj) = k(xj , x0 j , Rj , tj) , Xj Є R1
