Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
RcD.
R
R = Мь(А), и множеств с такими свойствами может быть много.
Следующее простое утверждение оказывается очень полезным в теории рассеяния. Это -признак Кука существования волновых операторов.
382
Лемма 5.3.3. Если множество R удовлетворяет описанным выше требованиям и
/оо \\(Б - A) exp(-iAt)(f)\\dt < то, (5.32)
о
то волновые операторы, W±(B , A) существуют. Доказательство. Положим
W(t) := exp(itB) exp(-itA). (5.33)
Так как
\\W (t)\\ = 1,
то в силу теоремы Банаха-Штейнгауза (см. стр. 161) для доказательства существования пределов (5.20)-(5.21) для всех ф є Hac достаточно доказать существование этих пределов для ф є R. Так как ф є Dom(A), то
exp(-irAU є Dom(B) , 3 dW(т)ф , dW(т)ф є C((0 , то), H).
dr dT
Докажем существование предела (5.20). Имеем:
(W(t) - W(в))ф = d^-W(т^dr = i exp(irB)(Б - A) exp(-iTA^dr,
V(t > s > s(e)) : W(W(t) - W(в))ф\\ < W(B - A)exp(-iтA)ф\\dт < є.
Существование предела (5.21) доказывается аналогично. Лемма доказана.
Рассмотрим пример. Пусть
H = L2 (R3) ,A = -А ,Б = -А + V,
где V -оператор умножения на действительную непрерывную функцию v(x), которая удовлетворяет оценке
V(x є R3) : |v(x)| < C (1 + |x|)-(1+e) , e> 0. (5.34)
Докажем существование волновых операторов W±(B , A). Имеем:
є H) : <ф,E(X,A)ф>=(2п)-3 J |J(?)|2d?,
?2<A
383
Так как правая часть этого равенства есть абсолютно непрерывная функция параметра А при любом ф є И, то в рассматриваемом случае
Pac (A)H = Иас = L2(R3)
и у оператора A нет сингулярного спектра.
В силу известной в теории преобразования Фурье теоремы Винера множество функций вида
ф аз exp(—(x — ?j)2), aj є R3 , n = 1, 2 ...
l<j<n
плотно в L2 (R3), поэтому для доказательства существования волновых операторов W±(B , A) достаточно доказать, что
J(t)dt < ос, (5.35)
</ -оо
где
J(t) = ||Vexp(—йА)ф0|| , фо = exp(—(x — a)2). Имеем:
exp(—itA)V>o(x) = F-1(exp(it? 2)F (exp(—(• — a)2))(x) = a(t)-3/'2 exp(—(x — a)2/<r(t)) ,где a(t) = 1 + 4it.
В силу оценки (5.34)
|Vexp(—ztA^o(x)| < C|a(t)|-3/2(1 + |x|)-(1+e) exp(—(|x — a|/|a(t)|)2).
Пусть число q удовлетворяет оценке
3 3 1 1
< q < - и - + - = 1.
2(1 + б) " 2 p q Тогда по неравенству Гельдера имеем:
J(t) < C|a(t)|-3/2 Г /(1 + |x|)-2(1+e) exp(—2((x — a)/|a(t)|)2)dx) / <
с /(1 + |x|)-2q(i+e)d^ 1/27 f expf—2p|x—,!2H dx)1/2p <
|*(t)| const. |a(t)|-3/2q.
Так как 3/2q > 1, то отсюда следует оценка (5.35).
Одним из основных признаков существования волновых операторов является следующий.
384
Теорема 5.3.1. Пусть AuB -самосопряженные операторы, с общей областью определения
Dom(A) = Dom(B) = D
и оператор C = B - А продолжается по непрерывности до ядерного оператора. Тогда волновые операторы W±(B, А) существуют и полны.
Доказательству этой теоремы мы предпошлем несколько лемм. Мы будем доказывать существование оператора W+(B, А), доказательство существования оператора W— (B , А) аналогично.
Пусть
Z(t, s) = W(t)*(W(t) - W(s)) =
id - exp(itA) exp(-i(t - s)B) exp(-iSA).
Прямым вычислением доказывается
Лемма 5.3.4. Справедливо равенство
H(W(t) - W^))фЦ2 =<ф^(t,S^> + <ф, Z(S ,^)ф>. (5.36)
В формуле (5.37) и в аналогичных формулах ниже символом [D , F] мы обозначаем оператор, который задает квадратичную форму на области D (и не обязательно является оператором в пространстве H):
ЄD): <ф, [D , >:=< D*ф, Fф> - <F *ф^ф> .
Лемма 5.3.5. Справедливо равенство
Є D ,a> 0) : <ф, Z (t, >= < ф , exp(iaA)Z(t, s) exp(—iaA)ф > +
i\ <ф, exp(i(a + t)A)[C, exp(-i(t - S)B)]exp(-i(S + Ь)А)ф > db. Jo
(5.37)
Доказательство. Справедливо равенство
< ф , Z(t, s)ф > - < ф , exp(iaA)Z(t, s) exp(—iaA)ф >= [a d
- — < ф, exp(ibA)Z(t, s) exp(—ibA)ф > db = Jo db
- i <ф, exp(i(b + t)A)[A , exp(-i(t - S)B)] exp(-i(S + Ь)А)ф > db.
o
385
Но
[A , exp(-i(t - s)B)] = [A + C, exp(-i(t - s)B)] - [C, exp(-i(t - s)B)], [A + C, exp(-i(t - s)B)] = [B , exp(-i(t - s)B)] = 0
Лемма доказана.
Лемма 5.3.6. Справедливо соотношение:
\/(ф Є D) : lim || exp(iaA)Z(t, s) exp(-iaA^|| = 0.
a—>oo
Доказательство. Имеем:
Z(t, s) exp(-iaA^ = W*(?) / — exp(irB)exp(-i(r + a)A)ф > dr =
A dr
iW*(*) / exp(irB)(B - A) exp(-i(r + a)A^dr.
Поэтому в силу леммы 5.3.1
t
|| exp(iaA)Z (t, s) exp(-iaA^|| < f ||C exp(-i(r + a)A^||dr — 0 ,a — то.
Лемма доказана. Положим
/те I < g , exp(-i6A^ > |2db.
Сходимость интеграла следует из леммы М.Розенблюма. Пусть
CФ = Y Sj (C) <gj, ф> i<j<oo
CC деление ядерного оператора и ядерной нормы см. на стр. 305), то
||C I Ncl|| := Sj(C) < то, (5.38)
1< j<oo
и это неравенство мы ниже учитываем.
386
Лемма 5.3.7. Справедлива оценка є M(A) ,a> 0) :
< ф, exp(i(t + b)A) exp(-i(s - t)B)Cexp(-i(s + Ь)А)ф > db| <
/0
(2п)1/2\\ф | M(A)\\ Y sj(C)R(M , ф, s)1/2.
1<j<oo
Доказательство. Имеем:
< ф, exp(i(t + b)A) exp(-i(s - t)B)Cexp(-i(s + Ь)Л)ф > db| <
< ф, exp(i(t + b)A) exp(-i(s - t)B)ej >
1<j<00
1<j<
< gj, exp(-i(s + Ь)а)ф > db| <
sj (C)( | <ф, exp(i(t + b)A)exp(-i(s - t)B )ej > |2 db\ x
1<j<oo \J-0° J
roo \ 1/2
