Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Лемма 6.2.3. Функция,
Rd Э у — и(х — у , а) Є Bn,
у
пространстве Bn, непрерывно дифференцируема.
Доказательство этой леммы предоставляется читателю в качестве упражнения (следует разложить функцию и(х — у, а) в ряд Тейлора по у в окрестности точки у = уо, воспользоваться интегральной формулой для остаточного члена ряда Тейлора и оценить норму остаточного члена в пространстве Bn).
409
Чтобы не загромождать изложение сложными обозначениями, дальнейшее доказательство мы проведем для случая d =1. Пусть
J(х) = "(х — y,a)(^y)dy,y Є Rl,
J\y\<R
y(j) = R(2j — n — 1)/(n + 1), 0 < j < n + 1, z(j) = 2(y(j)+ y(j + 1)), 0 < j < n,
2R
5га(х) = n+T ^ "(х — Z(j))ф(г(j)).
+ 0<j<n
Лемма 6.2.4. Справедлива оценка
VN : ||(J — sn) | (N,S)||< C(N)/n. (6.31)
Доказательство. Справедливы оценки: ||(J — sn) | (N,S)|| =
|| ( E ( f '+ Их — У , а)ф(у) — "(х — z(j) , a^(z (j)))dy)) | (N , S) || < /• y(j+i)
Y,M ("(х — У , а)ф(у) — "(х — z(j), a^(z (j)))dy) | (N , S) || <
г y(j+i)
]С / ||("(х — У , а)ф(у) — "(х — z(j) , а)ф(*(j))) | (N , S)||dy <
const n
Мы воспользовались вытекающей из леммы 6.2.3 оце кой ||("(х — y, а)ф(у) — "(х — z(j), a)<Kz(j))) | (N, S)| < consti|y — z(j)|.
Лемма доказана. Положим
<^,о(х) = j "(х — y , a)K(y , 0 , R , 1)ф(y)dy,
V(f Є S(Rd)*) : f (R, a , y) = /ж("(х — y , a))x(y , 0 , R , 1).
Напомним, что индекс у символа функционала означает, что он приме-
х
I Is лемм 6.2.4 и 6.2.3 следует
410
Лемма 6.2.5. Справедливо равенство
їх{Фк,а{х)) = j f {R, а, у)ф{у)ау. Теперь доказательство теоремы тривиально. Имеем:
f(ф) = Jim f(фн,а) = lim / f(R,a, у)ф{у)ау.
Н—оо, Н—оо, J
а—оо а—оо
Пусть функционал 5 определен равенством (6.25), 5п -последовательность, удовлетворяющая условию
5(ф) = lim / 5п(х)ф(х)ах. (6.32)
п—оо J
Запись правой части равенства (6.32) можно упростить, полагая по определению
lim / 5п(х)ф(х)ах = 5(х)ф(х)ах. (6.33)
п—о° J J
5(х)
в правой части (6.33) не есть обозначение интеграла Римана: символ 5( х)
х
а символ интеграла в правой части равенства (6.33) указывает на то, что функционал может быть вычислен как предел интегралов. Такая система обозначений сложилась исторически и удобна.
Следуя смыслу этих обозначений, для удовлетворяющей разумным условиям функции к(х) по определению полагают
/ 5(Н(х))ф(х)ах А= lim / 5п(Н(х))ф(х)ах, (6.34)
J п—о° J
где 5п -удовлетворяющая условию (6.32) последовательность.
6.2.2 Сходимость в пространстве распределений.
Определение 6.2.2. Последовательность медленно растущих распределений {fn} С S(Rd)* сходится к распределению f Є S(Rd)*, если
У(ф Є S(Rd)) : lim Ш) = f (ф). (6.35)
п—оо
Сходимость распределений (условие (6.35)) мы будем обозначать так:
S*
411
Определение 6.2.3. Последовательность медленно растущих распределений {f„ } С S(IRd)* фундаментальна, если для любого элемента ф Є S(IRd) числовая последовательность Д(ф) фундаментальна.
Если последовательность медленно растущих распределений сходится, то она фундаментальна. Если последовательность {fn} С S(IRd)* фундаментальна, то предел в (6.35) существует. Ниже мы докажем, что этот предел задает медленно растущее распределение. Линейность правой ча-
ф
левой частью равенства (6.35) функционала опирается на утверждение, которое есть аналог принципа равномерной ограниченности в теории банаховых пространств. Пусть
M С S(Rd)*.
Положим
т(ф | M) = sup{|f (ф)|| f Є M}. Теорема 6.2.3. Если
Є S(Rd)) : т(ф | M) < оо, (6.36)
то
т(ф | M) — 0 , ф — 0. (6.37)
Доказательство. Пусть условие (6.37) не выполнено. Тогда существет такое б > 0 и такие последовательности {^1 >п)} С M , {ф^>п)} С S(Rd), что
ф(1 ,п) — 0 , |f(1 ,п)(ф(1 ,п))| > б.
Определим номер п(?) из условия
||ф(1 mi)) | (j,S)|| < 4-j
и положим
f(2 ,j) = f(1 ,п(і)) , ф(2 ,j) = 2 ф(1 ,п(і)).
Эти последовательности удовлетворяют условиям:
{f(2 С M , ф(2 ,j) -— 0 , |f(2 ,1)(ф(2 ,j))| > 2j б — OO , j — OO,
||ф(2,j) | (j,S)|| < 2-j. (6.38)
Заметим, что
Vk : j] ||ф(2,j) | (k,S)|| < оо, (6.39)
1< j<oo
412
так как
V(j>k): ||ф(2,j) I (k, S)Н < 2-j. Дальнейшие построения проведем по индукции. Положим
/(3 , 1) = /(2 , 1) , ф(3 , 1) = ф(2 , 1).
Пусть элементы {/(3 >p) , ф(3 )P)| ,p < j уже выбраны. Далее определим номер j0 из условия
V(k>jo): |/(2,к)(ф(2,к))| > Y т(ф(3>0 I M) + J + 1
1<i<j
j1
V(k>j1 ,г < j): |/(2 ,і)(ф(2 < 2-j
Положим
/(3= /(2,n(j)) , ф(3= ф(2,n(j)) , n(j) = max(jo ,
Пусть
ф = Y ф(3
1< j<oo
S(Wd)
по построению {ф(3 j)} С {ф(2Далее имеем:
|/(3 > |/(3 ^+1)(ф(3 —
Y |/(3,j+l)(ф(зY |/(3,j+l)(ф(з>j.
1 < і < j j + 1<i<00
Так как ф Є S(Rd), то это противоречит условию (6.36). Теорема доказана.
Из доказанной теоремы следует
Теорема 6.2.4. Если последовательность медленно растущих распределений фундаментальна, то она сходится к медленно растущему распределению.
/
ф Є S(Wd)
ность /п(ф) фундаментальна, то
Є S(Rd)) : sup{|/„(ф)| | n Є Z} < то. В силу теоремы 6.2.3 отсюда следует:
|/(ф)|< sup{|/„(ф)| | n Є Z} — 0 ,ф — 0. Теорема доказана.
413
6.2.3 Случай пространства V(R'1)
