Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арсеньев А.А. -> "Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике" -> 94

Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.

Арсеньев А.А. Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике — НИЦ.: Регулярная и хаотическая динамика, 2009. — 505 c.
Скачать (прямая ссылка): lekcpofunkcanalizu2009.pdf
Предыдущая << 1 .. 88 89 90 91 92 93 < 94 > 95 96 97 98 99 100 .. 110 >> Следующая

Укажем, какие изменения нужно сделать в формулировке основных теорем для случая пространства V(Rd), Теорема о непрерывности оператора в пространстве основных функций V(Rd) формулируется так:
Теорема 6.2.5. Линейный оператор
непрерывен в том и только том случае, если для любого компакта K0 и любых N существуют такие константы C(K0 , N) , M(K0), и такой, K
Доказательство теоремы остается без изменений. Теорема о необходимых и достаточных условиях непрерывности ли-ненейного функционала формулируетя так,
f
стве V(Rd) был, непрерывен, необходимо и достаточно выполнение усло-
K C(K) , N(K)
что выполнено неравенство
У(ф,виррф т K) : |f (ф)| < C(K)\\ф | (N(K) , V(Rd) , K)\\. (6.40)
6.2.4 Примеры вычисления пределов распределений.
Рассмотрим примеры,
1, Найдем предел при є —> 0 функционала, заданного формулой
A : V(Rd) — V(Rd)
У(ф , виррф т K0) :
suppАф т K , \\Аф | (N, V(Rd), K))\\ < C(K0 ,N)\\ф | (M(K0 ,N), V(Rd) ,K)\\.
414
Имеем:
-ф(х^х =
1 Г 1
--ф(х^х + --ф(х^х =
\х|<1 х — гє J\x\>1 х — гє
1 f х + ZC
--(ф(х) — ф(0))dx + ф(0) / —-2 dx
\x\<1 х — гє ./|x|<1 х + Є
-— ф(x)dx.
\x\>1 х — ZC
Справедливы равенства
lim/ -^—(ф(х) — ф(0))dx = / -(ф(х) — ф(0))dx,
6^0 7\xK1 х — гє ./|x|<1 х
lim / -ф(x)dx = / — ф(x)dx,
6^0 J|x|>1 х — ZC ,/|x|>1 х
,. /" х + Ze ,
lim / —-- dx = zn.
6^0J |x|<1 х2 + Є2
Следовательно,
lim I —!— ф(x)dx = гтгф(0) + V ( 1I (ф), (6-41) 6^0Jх — гє \х/
где
V[ 1J (ф) = / 1 (ф(х) — ф(0)^х + / 1 ф(x)dx. (6.42) х |x|<1 х |x|>1 х
Таким образом, мы имеем:
±гтг?(х) + V- ,є — 0. х =р гє \ \х//
Это утверждение нужно понимать в следующем смысле: распределение, задаваемое стоящей в левой части равенства функцией, сходится в пространстве S(Rd)* к распределению, стоящему в правой части равенства. Это же утверждение часто записывают в виде:
-1— = ±гтт? + V( -) . (6.43)
Формулы (6.43) называют формулами Сохоцкого.
415
2, Найдем предел при п — оо распределений, задаваемых функциями
п\d/2 < 2ч _ Tn>d
fn(x) = - ехр(-пх ) , X Є
Имеем:
V(ф Є S(Rd)) : J (—J ехр(-пх2)ф(х)сІх = (—)-d/2 j ехр(-х2)ф(х/п)сІх ф(0) + —-d/2 jехр(-х2)(ф(х/п) - ф(0))Сх — ф(0) , п — оо.
Это равенство записывают так:
(п\d/2 ( 2ч S* ?ґ s
у—J exp(-пх ) — о(х), п — оо.
п—о
sin пх
,/п(х) , х Є
—х
Из очевидного равенства
1 sin ССх — / ехр(іх^ )с? = -
2— J-ш —х
и формулы для обратного преобразования Фурье, следует, что
Поэтому в силу равенства Парсеваля имеем:
V(ф Є S(R1)) : Г sin^ф(х)Сх = ^/ F(ф)(?)І? -
2— J \І\<п
2— Tf(ф)(?)d? = ф(0) ,п — о.
Следовательно,
sin пх S*
#(х), п — о. (6.44)
—х
Приведем другой вывод соотношения (6.44). Пусть
C = (-о , б) |J{z | z = б ехр(ів), — < в < 2—} |J (б , оо).
416
На основании теоремы о вычетах и леммы Жордапа справедливо равенство
1 I' exp(iaz) Il , а > 0
2пі J z dz = \0 ,а< 0. . с к
Отсюда следует, что
1 sin az п
dz
п
sin az
dz = 1 , а > 0.
с
Справедливо равенство
У(ф Є S(R1)) : 1С sin пх
sin пх
п
ф(0)
\x\<e 1 I
х
(ф(х) - ф(0))(іх
ф(x)dx = 1
п
sin пх
\x\>e
х
ф(х)(х-
sin пх
п
'\ж\<є
х
(х)(х.
Далее имеем:
sup
п
1
sin пх
п
П ¦I\x\<€ х
sin пх
(ф(х) - ф(0))(х
<
п
(х) - ф(0)|
\ж\<є
х
(х = O (є),
\ж\>є
1 I
х
ф(х)(х — 0 , П — ТО,
sin х
ф(0)П I ^^(х = ф(0)П —
п J\ж\<є х П J\ж\<пе х
(х — ф(0), п — то.
є
є — 0 , єп — то , п — то.
Утверждение (6.44) доказано.
4. Вычислим предел распределения
ехр(іхі) (х + і0)
t —> ±оо.
Нам нужно вычислить
У(ф Є S(R1)) : lim lim Г еехр(гхі} ф(х)(х.
417
На основе равенства Парсеваля имеем:
—cxD *x + гє Далее имеем:
2п
x — гє
F ( 'exp(—ixt) j ) =
ю exp(—гж(і + С)) (x — гє) У J00 (ж — гє)
2пг exp^(t + С)), (t + С) < 0, 0 , (t + С) > 0.
dx =
Следовательно,
lim
е+0
exp^xt)
ж + гє
ф(x)dx =
г F (ф)(с )dc
^(*+?)<о
-2ттгф(0), t — —то 0 , t — +то.
Окончательно получаем:
exp^xt) s* \ 0 , t — +то,
(x + г0) |-27a?(x) , t — —то.
5. Рассмотрим функциональную последовательность
/n(x) = exp(27nkx), —то < x < то.
|fc|<ra
Эта последовательность не имеет предела ни в одной точке x Є R1. Докажем, что последовательность распределений, задаваемых функциями /ra(x), имеет предел. Имеем:
/оо /„(x^(x)dx = -О
т+1
У~] I /„(x^(x)dx =/ /ra(x) I ф(x + то)) dx
-oo<m<oo ^m \-oo<m<oo /
j / exp(2nkx) ( ф(x + m) J dx J exp(—2пгку)
fc|<n V 0 \-oo<m<oo / / У=0
V ф(у + ш)
I У=
<m<
n.
418
Последнее соотношение вытекает из поточечной сходимости ряда Фурье бесконечно дифференцируемой периодической функции
x — 52 Ф(х + т).
—оо<т<оо
Полученное нами соотношение часто записывают в виде 52 exp(2nikx) = 52 ^(x - k).
—OQ<k<OQ — OQ<k<OQ
Математическое содержание этой красивой формулы состоит в утверждении, что ряд Фурье бесконечно дифференцируемой периодической функции сходится в точке x = 0.
Предыдущая << 1 .. 88 89 90 91 92 93 < 94 > 95 96 97 98 99 100 .. 110 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed