Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
2
| < Qj, exp(—ibA)ф > | db Далее в силу леммы М.Розенблюма имеем:
/ос | < ф, exp(i(t + b)A)exp(-i(s - t)B)ej > ^db =
о
ООО
/ | < exp(—ibA)ф, exp(-i(s - t)B)ej > <
-о
2п\\ф .
Подставляя это неравенство в предыдущую оценку, получаем нужное утверждение.
Лемма доказана.
Аналогично доказывается
Лемма 5.3.8. Справедлива оценка V(^ є M(A) ,a> 0) :
| / <ф, exp(i(t + b)A)exp(-i(s - t)B)exp(-i(s + Ъ)А)ф > Щ < 0
(2п)1/2\\ф Y sj(C)R(ej ,ф,^1/2.
1 < j< о
387
Лемма 5.3.9. Справедлива оценка: У(ф Є M(A)): ||(W(t) - W(в))ф||2 <
(8тг)1/2||ф |M(A)|| Y Sj(C)(RGb- ,ф,^)1/2 + R(ej ,ф,і)1/2). (5.39)
1<j<o
Доказательство. Сначала используем равенство (5.36). Затем переходим в (5.37) к пределу a — то и используем оценки лемм 5.3.7-5.3.8.
Из оценки (5.39) легко следует утверждение теоремы. Действительно, из леммы М.Розенблюма следует, что
(R(gj , ф , s)1/2 + R(ej , ф , t)1/2) < const.,
где const. не зависит от j, и из той же леммы следует, что
Vj : (R(gj , ф , s)1/2 + R(ej , ф , t)1/2) — 0 , min(t, s) — то.
Так как ряд (5.38) сходится, то из (5.39) следует, что
Є M(A)) : ||(W(t) - W^))ф|| — 0 , min(t, s) — то.
Мы доказали, что если ф Є M(A), то функция t — W(^ф имеет предел при t — то Так как пространство M(A) плотно в Hac, то теорема доказана.
Следующее утверждение называется принципом инвариантности волновых операторов и позволяет существенно расширить область применимости теоремы 5.3.1.
Теорема 5.3.2. Если выполнены, условия теоремы, 5.3.1 и h(A) -такая, действительная, непрерывно дифференцируемая, функция, что
VA : |/У(А)| > 0,
то волновые операторы, W± (h(B), h(A)) существуют, причем
(VA : fc'(A) > 0) ^ (W±(h(B), h(A)) = W±(B , A)), (VA : h'(A) < 0) (W±(h(B), h(A)) = W^(B , A)).
Доказательство. Полагая в (5.39) s = 0 , t — то, мы получаем:
є M(A) : || W+(B , - ф||2 < (8тг)1/2||ф |M(A)|| ^ Sj(C)R(gj ,ф, то)1/2 (5.40)
1<j<o
388
В данном неравенстве заменим
ф — exp(—iтh(A))ф.
В левой части неравенства (5.40) получим:
HW+(B , A) exp(-iTh(A)^ - exp(-iTh(A)^H2 = H exp(-iTh(B))W+(B , А)ф - exp(-iTh(A)^H2 = HW+(B , А)ф - exp(iTh(B)) є^-ітЦАУфЦ2.
Переходя к правой части неравенства (5.40), во-первых, заметим, что
Ц ещ>(-^(А))ф | M(A)H = Нф | М(А)Ц.
Далее замечаем, что справедлива оценка:
рос
/ | < gj, exp(-ibA) exp(—iтh(A))ф > \2db < Jo
о
| < gj, exp(-ibA) ех\)(—іт^А))ф > \2db =
о
оо
| / ui(gj , exp(—iTh(A)^) exp(—ibХ)dХ|2 db =
о —о
/оо роо ^(gj, exp(—iтh(A))ф, Х)^dХ = 2тг ^(gj, ф, Х)^Х < conSt.,
о —о
где константа не зависит от j и т. Если функция
Х — ^(gj ,ф,Х)
ступенчатая:
'\ , Х Є [а, ?], 0 ,Х Є [a,?],
^(gj ,ф,Х) =
то с учетом неравества hh(Х) > 0 мы имеем оценку:
| / exp(—iTh^) — ib\)uj(gj , ф, Х)dХ| =
—о
conSt^ єх\)(—іЬХ — iтh(Х))dХ|2 < conSt'.(т + b) 2,
из которой следует, что в рассматриваемом случае правая часть неравенства (5.40) стремится к нулю при т — оо. Общий случай получается
389
из рассмотренного применением теоремы Банаха-Штейнгауза к зависящему от параметра т семейству отображений пространства L2 (R1, dX) в пространство L2((0 , то), do)):
так как множество линейных комбинаций ступенчатых функций плотно
Совершая в неравестве (5.40) предельный переход при т — то, мы получаем равенство
Если выполнено неравенство W(X) < 0, то в (5.40) мы делаем замену
и далее расуждаем аналогично. Теорема доказана.
Принцип инвариантности волновых операторов позволяет доказать существования волновых операторов для пары операторов том
случае, если удается подобрать гладкую монотонную функцию h (X) так, чтобы оператор h(A) — h(B) был бы ядерным.
5.4 Формулы для матрицы рассеяния
Изложенный выше метод исследования задачи рассеяния основан на исследовании предела оператора W(t) при t — то и называется нестационарным методом. Другой подход к задаче рассеяния основан на исследовании пределов резольвент операторов А и B при стремлении спектрального параметра к точке непрерывного спектра. Этод метод технически более сложен, но позволяет получить формулы для вычисления волновых операторов и оператора рассеяния.
Установим связь между этими двумя методами. Мы начнем с доказательства нескольких вспомогательных утверждений.
Во-первых, покажем, как строится обобщение теории преобразования Фурье-Планшереля (по другой терминологии -гильбертова преобразования Фурье) на функции со значениями в гильбертовом пространстве.
Пусть L2 ([R1 — И] , dt) -множество тех непрерывных функций от t Є R1 со значениями в гильбертовом пространстве И, которые удовлетворяют условию:
(R1 , dX)
W+(h(B) ,h(A)) = W+(B , A).
ф — ехр(іт^А))ф
390
В пространстве L2 ([R1 — H] , dt) введем скалярное произведение
/оо < f (t), g(t) > dt -оо
и норму
||/ | L2([R1 — H] , dt)H2 := [/,/]•
Далее тем же символом L2 ([R1 — H] , dt) мы будем обозначать пополнение этого пространства по введенной норме.
На множестве функций / (t) Є L2 ([R1 — H] , dt) с компактным по t носителем определим преобразование Фурье:
/те / (t)exp(-it?)dt е
dt
Римана от функции со значениями в гильбертовом пространстве. Справедлива формула обращения
