Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
6.2.5 Дифференцирование и преобразование Фурье распределений.
Определение 6.2.4. Линейный оператор
T : S(RdY — S(RdY называется непрерывным, если
(fn —— 0 ,n — то) (T(fn) —— 0 ,n — то). (6.45)
Оказывается, что в пространстве распределений топология (понятие сходимости) введена так, что естественно определенные операции дифференцирования и преобразования Фурье непрерывны.
Дифференцирование распределений.
Начнем с определения опрерации диференцирования на прямой. Предпо-
f f(x)
/оо f (x)f(x)dx. о
Если производная Df (x) сама есть медленно растущая функция, то эта производная задает распределение
/оо /*оо
Df (x)f(x)dx = - f (x)D(f)(x)dx = -f (Df). о —о
Этот пример мотивирует следующее
419
Определение 6.2.5. Производной порядка m распределения / Є S(Rd)* называется распределение, которое действует по правилу:
Dmf : Є S(Rd)) , Dmf (ф) = (—1)|m|f (?>тф). (6.46)
Так как отображение
S(Rd) э ф — ?>тф є S(Rd)
непрерывно, отображение
S(Rd) э ф — (—1)|m|f (?>тф) Є C1
есть композиция линейных непрерывных отображений и поэтому есть линейное непрерывное отображение. Следовательно, наше определение корректно: правая часть равенства (6.46) действительно задает линейный непрерывный функционал на пространстве S(Rd).
Теорема 6.2.7. Операция дифференцирования, непрерывна, пространстве S (Rd)*.
Доказательство. Если
S*
fn — 0 , n — то,
то
Є S(Rd)) : ГЛШ) = (—1)Hfn(D"V) — 0 , n — то,
поэтому
Dmfn — 0 , n — то.
Теорема доказана.
Рассмотри примеры.
1. Пусть распределение в Є S(R1)* задается функцией
б(х) Л1 ,х> 0 (0 , х < 0.
Найдем производную этого распределения. По определению имеем:
Г°° d
Є S(R1)) : гДв(ф = —в(гДф) = — — ф(x)dx = ф(0). Следовательно,
-^в(х) = ОД. dx
420
Данное равенство нужно понимать в следуещем смысле: производная распределения, задаваемого функцией 9(x), есть раепределение 8(x). Среди физиков бытует следующая интерпретация этого равенства: производная функции #(x) равна нулю всюду, кроме точки x = 0, а в точке x = 0 эта производная равна бесконечности. Это бессмысленное на первый взгляд утверждение получает математически корректную интерпретацию, если рассмотреть аппроксимацию распределений в обеих частях данного равенства распределениями, задаваемыми гладкими функциями,
2, Пусть
—то = а0 < аі < ... < On < ап+і = то. Предположим, что функция f (x), x Є R1 удовлетворяет оценке
Vx: |f(x)| <C(1 + |x|)N,
непрерывно дифференцируема на каждом интервале (ai , Oi+1) 0 < i < n и имеет пределы в точках ai, 1 < i < n. Положим
f (x) j f '(x) , x Є (Oi , Oi+і) 0 < i < n,
oc 1 0 , x Є {ai | 1 < i < n}
Предположим, что функция f'oc(x) удовлетворяет оценке
Vx: |f'oc(x)| <C'(1 + |x|)M.
f(x)
ем:
? (Ф) = —f (t ) = — /" f = — f t<* =
Lb • L Lb • L J ,-v. Lb • L J j-, . Lb
(f (Oi+і — 0)Ф(«і+і) — f (ai + 0)Ф(«і )) — j
0<i<n
((f(Oi+і — 0)ф(«і+і) — f(«і + 0)ф(«і)) — f'(x^(x)dx)
<i<n
/oo floe (x)ф(x)dx. . ... ... -oo
Полученное равенство можно записать в виде
^ = E (f («і + 0) — f(«і — 0))<J(x — Oi) + fic(x).
421
Это равенство означает следующее: производная распределения, задаваемого функцией f (x), есть линейная комби нация ^-функций, сосредоточенных в точках разрыва функции f (x) и распределения, задаваемого функцией f/oc(x).
3. Найдем первую и вторую производную распределения, задаваемого функцией |x|. Имеем:
Следовательно,
= sign(x).
Данное равенство нужно понимать так: производная распределения, задаваемого функцией |x|, есть распределение, задаваемое функцией sign (ж) =
Используя решение предыдущей задачи, находим:
3. Найдем производную распределения xzj?- Согласно определению, имеем:
где
26(x) - 1.
е<|ж|<оо
е<|ж|<оо
е<|ж|<оо
422
Следовательно,
dx\x - i0j -" v~> ' \x2 где распределение V (^2) задается формулой:
1 \,,^ ls„ / - ф(0)
V - (ф) := lim / ^ 2yv"' dx.
е<|ж|<оо
4, Найдем производную от ^-функции. Имеем:
< Dm5 | ф >= (-1)|m| < 5 | Dmf >= (-1)|m|Dmf(x)
ж=0
Преобразование Фурье медленно растущих распределений.
Если распределение f Є S(RdГ задаеіся функцией f(x) Є S(Rd), то
f(x)
У(ф Є S(R)) : F(f)(ф) = у F(f)(x)f(x)dx = exp(-ixy)f (y)dyj ф(x)dx = f (y) ет^^ЖаО^ dy = f (F(ф)). Эта формула мотивирует следующее
Определение 6.2.6. Преобразованием Фурье распределения f Є S(Rd)* называется распределение F(f) Є S(Rd)*, вычисляемое по формуле
У(ф Є S(Rd)) : F(f)(ф) = f (F(ф)). (6.47)
Как и выше, легко доказывется, что это определение корректно и что отображение
S(Rd)* э f — F(f) Є S(Rd)*
423
непрерывно.
Примеры вычисления преобразований Фурье медленно растущих распределений.
Рассмотрим примеры,
1, Найдем преобразование Фурье распределения, задаваемого функцией f (ж) = 1. Имеем:
F (ф)(? R =
(2тг)< {(2n)-dJ exp(ix?)F(ф)(?№) \x_o= (2тг)<ф(0).
Следовательно,
F = (2n)d5(0.
Иногда фраза "преобразование Фурье распределения, задаваемого функцией f (я)" сокращается до фразы "преобразование Фурье функции f (ж)". Однако обычно нетрудно понять, о чем идет речь и такая вольность речи не приводит к недоразумениям,
