Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
n
то достаточно рассмотреть случай, когда
ф , ф Є (E (n ,А) — E (n — 1, А))^
Рассмотрим сужение меры /(ф | •) на отрезок [а , b] С R1. По теореме Лебега о разложении меры справедливо равенство
V(m Є В([а , b])) : /(ф | m) = /ас(ф | m) + ?.s(ф | m), (5.6)
где мера /ас(ф | •) абсолютно непрерывна относительно меры Лебега:
V(m Є В([а, b])) : ((|m| = 0)) ^ (/ас(ф | m) = 0), (5.7)
a мера /3(ф | •) сингулярна относительно меры Лебега:
3(|mo| = 0) , V(m Є В([а, b])) : /з(ф | m) = /з(ф | mp|mo). (5.8)
Заметим, что входящее в (5.8) множество mo зависит от ф,и когда это существенно, мы будем писать
mo = то(ф).
Пусть множество m0 удовлетворяет условию (5.8). Положим
фас = J I(C(mo) | Л)dлE(Л , А)ф, (5.9)
фз = JI(mo | (Л, А)ф. (5.10)
Так как
I(C(mo) | Л) + I(mo | Л) = 1,
то
V(ф Є H): ф = фас + фз. (5.11)
Докажем, что мера /(фас | •) абсолютно непрерывна относительно меры Лебега, а мера /(ф3 | •) сингулярна относительно меры Лебега.
373
Имеем:
/^ac I m) = j I(m | Л)^л < фac , E(Л , A^ac >=
j I(m I Л)1(С(тпоЖ < ф, E(Л , A)ф >= //(ф | m P C(mo)) = /^(ф I m,p C(mo)) + /л8(ф I m,p C(mo)) = //w(ф | m,p C(mo)), так как
(ф I ^P C(mo)) = //8(ф I mP C(mo) P mo) = 0. Лна. ігнчно.н ! (5.10) следует, что
/і(фА I m) = //(ф I mPmo), поэтому мера ^(ф« I •) сингулярна. Пусть
ф = Фac + ф«
ф Є H
Имеем:
I < фac, ф« > I2 = \J I(C(mo^)))I(mo^)R < ф, E(Л , > I2 <
\jI(C(mo^)))I(mo^))a\ < ф, E(Л, A)ф > Ц|ф||2 = ^(ф I етюШНфН2 = 0. Итак, мы доказали равенство (5.5) Из (5.9) следует, что
М/(A?ac | m) < sup{|/(^|2}/i((/>ac | m),
поэтому
(/x^ac I m) = 0) ^ (//(/(A^ac I m)) = 0),
и
/(A)Hac С Hac.
Из (5.10) следует, что
Mf (A?s | m) = ^(/(A?s | тріт^
374
поэтому
f (A)Hs С Hs. Теорема доказана.
Определение 5.1.1. Спектр сужения оператора A на пространство Hac
A
A Hs
A
Теорема 5.1.2. Если либо ф Є Hac, либо ф Є Hac, то функция
A —< ф, E(A, A)ф > абсолютно непрерывна, па, любом отрезке [a , b] С R1 и,
3(u(A ,ф,ф) Є L1(R1)) : <ф,Е (A, А)ф >= Ґ u(? , ф, ф^?. (5.12)
-0
u( , ф , ф)
дующим условиям:
1. У(ф Є Hac) : n.e. u(A , ф , ф) > 0, (5.13)
2. |u(A, ф, ф)|2 < w(A, ф, ф)и(А,ф,ф), (5.14)
3. V(f Є L^(R1)) : < ф, f (A)ф >= | f (A)u(A , ф, ф^А. (5.15) 4. Множество
M(A) = {ф | ф є Hac , sup{u(A, ф, ф) | А є R1} < то} (5.16)
Hac
ф — ||ф | M(A)| =sup{u(A, ф, ф) | А є R1}172 (5.17)
определяет па, этом, множестве норму.
ф Є Hac
ф Є Hac, то
< ф , E(A , > = < фac , E(A , A^ac > .
ф Є Hac [ a , b] С R1
375
А —< ф, E(A, >
ция
не убывает и мера /(ф | •) абсолютно непрерывна относительно меры Лебега. Следовательно,
3(и(Х ,ф,ф) Є L1([a , b]) ,и .в. и(Х,ф,ф) > 0) : V(m Є B([a , b]) : /(ф | m) = [ и(Х , ф, ф)аХ.
Так как
V(a,b): І и(Х,ф,ф)аХ = || (E(a, A) - E(b, А)фЦ2 <
то
ш(Х,ф,ф) Є L1(R1).
Утверждение (5.12) теперь следует из поляризационного тождества. Из теоремы 1.2.19 следует, что функция
Х ш(С,ф,ф)аС =<ф,Е(Х,А)ф>
по мере Лебега почти всюду дифференцируема и
d
п.в. — < ф, Е(Х, А)ф >= и(Х, ф, ф).
Так как
(E (Х + АХ, А) - E (Х , А))2 = E (Х + АХ , А) - E (Х , А), (5.18) то из неравенства Коши-Буняковского следует, что
< ф , (E (Х + АХ, А) - E (Х , А))ф > |2 <
< ф , (E (Х + АХ, А) - E (Х , А))ф > X <ф, (E (Х + АХ, А) - E (Х , А))ф >
Деля обе части этого неравенства на АХ2 и переходя к пределу АХ — 0, мы получим неравенство (5.14).
Равенство (5.15) есть следствие равенства (5.12) и определения функции от оператора.
Положим
Є Hac) : г(ф ,n) = {Х | и(Х,ф,ф) < n2}f) [-n, п].
376
Пусть гь(ф , п) -борелевское множество, которое удовлетворяет условиям: П>(ф, п) С г(ф, n) , |г(ф, n) \ гь(ф, п)(ф, n)| < 2—n.
Пусть
P(ф,п):= 0РЬа(1(гь(ф, n) И).
Очевидно, что
У(ф Є Hac) , ^(Л , P(ф , п)ф , P(ф , п)ф) =
1(гь(ф, n) | Л)^(Л, ф, ф) < п2,
||ф — P(ф, п)ф||2 = j(1 — 1(гь(ф , n) | Л)и(Л , ф, ф)гіЛ 0 , n оо.
Теорема доказана.
Заметим, что множество
Mb(A):= U {ф | ф = P(ф,п)ф} (5.19)
1<га<оо
удовлетворяет условиям:
Mb(A) cM(A)p| Dom(A) , Cl(Mb(A)) = Hac(A).
Из равенства (5.18) следует, что если производная функции
Л ^ E(Л, A) существует, то она равна нулю.
5.2 Волновые операторы и оператор рассеяния.
Pac( A) A
Pac(A)H = Hac.
Пусть B -самосоряженный оператор в H. Определение 5.2.1. Если существуют пределы
У(ф Є H): W+(B,A^ = lim exp(itB) exp(—itA)Pac(A^, (5.20)
t—>+oo
У(ф Є H) : W-(B, = lim exp(itB) exp(—itA)Pac(A^, (5.21)
t—>—oo
то эти пределы называются волновыми операторами.
377
Далее следуют равенства, в которых есть индексы ±, Эти равенства мы будем понимать как независимые равенства, в обеих частях которых берутся либо верхние индексы, либо нижние.
Определение волновых операторов можно сформулировать так:
Vф : lim ||W±(B , А)ф — exp(itB) exp(—ііА)Рас(А)ф|| = 0. (5.22)
t—>±оо
Условия существования волновых операторв мы обсудим позже, а сейчас мы будем предполагать, что эти операторы существуют и установим их простейшие свойства.
Теорема 5.2.1. Если волновые операторы W±(B, А) существуют, то тогда
1. Є H) : ||W±(B , А)ф|| = ||Расф||. (5.23)
