Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
2, Найдем преобразование Фурье распределения, задаваемого функцией f (ж) = ж , ж Є R1. Имеем:
F(ж)(ф(ж)) = J ж exp(-iжy)ф(y)dyj dx = i-exp(-ixy)^ ф(у^у^ dж = (ежр(-іжу) ^-«dy) Ф(y)d^ySJ dж = -2пгф'(0).
F (ж) = 2пї6'(ж).
3. Найдем преобразование Фурье распределения, задаваемого функцией О [ж]. Это распределение есть предел распределений, задаваемых функцией в (ж) exp(-еж) , е — 0. Следовательно, преобразование Фурье рас-
О(ж)
даваемых функцией О(ж) exp(-еж) ,6 — 0. Преобразование Фурье распределения, задаваемого функцией О(ж) exp(-еж), задается преобразованием Фурье функции О(ж) exp(-еж):
О(ж) exp(-еж - i?>ж)dж = -г(? - ie)
424
Следовательно, преобразование Фурье распределения, задаваемого функцией 9(x), есть раепределение —i^zjo'-
F (9(x))(? )= ' 1
? — io
4, Найдем преобразование Фурье распределения P (X). Это распределение есть предел распределения, задаваемого функцией 9(\х\—е)/х , є — 0. Следовательно, преобразование Фурье распределения P (X) задается функцией, которая есть предел преобразований Фурье
ООО
lim / —-—\-) exp(—ix^)dx =
sin(x?) . . /M -dx = —i7TSlg n(?).
Случай пространства V*(Rd).
Определение операции дифференцирования в пространстве V* (Rd) и свойства этой операции совпадают с определением и свойствами операции дифференцирования в пространстве медленно растущих распределений. Мы не определяем преобразования Фурье распределений из V*(Rd),
6.2.6 Действие аффинной группы на распределения.
Напомним, что аффинной группой называется группа преобразований пространства Rd, которая действует по правилу
V(x є Rd) : Ax = Ax + а , det(A) = 0 , а є Rd. (6.48)
Аффинную группу можно отождествить с множеством пар {(A , а)}, где A -невырожденная матрица, а є Rd. Закон композиции в аффинной группе задается равенством
(Ai, аі) • (A2 , а2) = (A1A2 , Аіа2 + аі).
Rd
Rd
функциях:
(A , а^^) = 0(Ax + а).
425
Если функция x — f (x) порождает распределение ф — f (ф), то функция x — f (Ax + а) порождает распределение
ф — j f (Ax + a^(x)dx = \det(A)\-1 J f (x)ф(A"1(x - a))dx = \det(A)\-1fx^(A-1(x - a))). (6.49)
Формула (6.49) порождает правое действие аффинной группы на распределения:
(f(A, а))(ф) = \det(A)|-1fx^(A-1(x - а))). (6.50)
Эта формула и принимается за правило "замены переменных" в распределениях. Приведем пример.
(8(A, а))(ф) = \det(A)|-16MA-1(x - а)) = \de ^^(-A-^).
Некоторые авторы считают естественным сопоставить левому действию аффиной группы на точки пространства правое действие группы на функции. В таком случае для сохранения связи между функциями и порождаемыми ими распределениями на распределения аффинная группа должна действовать слева.
6.2.7 Свертка рспределения и функции.
В этом пункте формулировки утверждений и доказательства не зависят от того, какие пространства рассматриваются: S или V.
Напомним, что сверткой f * ф функций f и ф называется функция
Rd Э x — f * ф^) := j f (у)ф^ - y)dy.
Свертку распределения и основной функции естественно определить формулой
f * (J)(x) = lim fra * ф(x),
га—те
где fn -такая последовательность фукнций, что
У(ф Є S(Rd)) : f (ф) = lim f ШфШу.
Однако при этом возникают проблемы с обоснованием некоторых предельных переходов и удобно поступить иначе.
426
Введем операторы инверсии основной функции:
іпуф^) := ф(-x),
сдвига основной функции:
V(z Є Rd) : t(z^(x) := ф(x - z)
и сдвига распределения:
(t(z)f)(ф) := fy(ф(у + z)).
Эти операции непрерывны в соответствующих пространствах.
Определение 6.2.7. Сверткой распределения f и основной функции ф называется функция
Rd э x — f * := f (іфіпуф) = fy(ф(x - y)). (6.51)
Корректность данного определения следует из непрерывности операции инверсии и сдвига.
Нужные нам свойства свертки распределения и основной функции перечислены в
Теорема 6.2.8. 1. Свертка коммутирует со сдвигами:
t(z)(f * фИ) = (t(z)f) * = f * (t(z^)(x). (6.52)
2. Свертка коммутирует с дифференцированиями:
Dm(f * фИ) = (Dmf) * = f * (D^Xx). (6.53)
Доказательство первого утверждения проводится прямым вычислением. Имеем:
t(z)(f * ф(x)) = t(z)fy(ф(x - y)) = fy(ф(x - z - y)), (t(z)f) * ф(x) = (t(z)f )y(ф(x - y)) =
fy(ф(x - (y + z))) = fy(ф(x - z - y)), f * (t(z^)(x) = f (^іпу^ф)) =
fy(t(x?(-y - z)) = fy(ф(x - y - z)). Переходим к доказательству второго утверждения. Введем оператор
j (Ax) : Ij (Ax^(x) =
(Ф(xl,.. .xj + Ax,... ,xd) - ф^і,... ,xd)) =
j (dxj ф)(xl,... ,xj + г Ax,... ,xd)dr.
Из непрерывности оператора сдвига в простанствах S(Rd) и D(Rd) следует
427
Лемма 6.2.6. В пространстве S(Rd) и в пространстве D(Rd) справедливо утверждение:
lj(Ax^(x) — 0Xjф(xl,... ,xj,... ,xd), Ax — 0.
Используя коммутативность оператора свертки со сдвигом и лемму 6.2,6, мы получаем:
dxj (f * ф)^)= limn lj (Ax)(f * ф)(x)
Jim f * j(Ax)ф(x) = (f * ф)(x).
Далее замечаем, что
(Dmf) * фф = (Dmf )y(ф(x — y)) = (—1)|m|fy(D^(x — y)) = fy ((D"V)(x — y)).
Теорема доказана.
6.2.8 Прямое произведение распределений.
В этом пункте в качестве пространства основных функций и пространства распределений мы будем рассматривать пространства D(Rd) и D*(Rd), Очевидна
