Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
supp?(dz) С NP.
Положим
w(x) = j exp(—i(x , z))?(dz). Функция w(x) удовлетворяет уравнению
P(D)w = 0.
Пусть E -фундаментальное решение и Ew -распределение, которое порождено функцией w(x). Тогда раепределение E + Ew -фундаментальное решение.
6.3.2 Примеры вычисления фундаментальных решений.
Фразу "функция задает распределение, которое есть фундаментальное решение" мы будем сокращать до фразы "функция есть фундаментальное решение". К недоразумениям это привести не может.
438
Обыкновенные дифференциальные операторы.
Пусть
L(dt) = (ff + '4^idt)"' + " +ao•*єr1. (вло)
Дифференциальному оператору (6.80) мы поставим в соответствие полином
L(X) = Xn + a(n-i)Xn-1 + • • • + ao.
Напомним
Определение 6.3.2. Функцией Коши K(t) для оператора (6.80) называется решение уравнения
LK (t) = 0,
K(n-1)(0) = 1, K(n-2)(0) = • • • = K(0) = 0.
Простое вычисление показывает, что функция Коши может быть вычислена по формуле
\А\=Я
где радиус R больше модуля всех корней многочлена L(X). Утверждение 6.3.1. Решение уравнения
L (dt) E(t) = 5(t) (б-82)
дается, формулой,
E (t) = e(t)K (t). (6.83)
Это утверждение можно проверить непосредстеннным вычислением. Делается это так. По определению производной от распределения, равенство (6.83) означает, что
у(ф є d(r)) '¦J+ E(t)L^-dt)^dt = J0+00 K Wl( - dt) = Ф(0).
L
K(t)
Можно заметить, что формула (6.83) фактически есть лишь другая запись формулы Дюамеля (3.275).
439
Волновое уравнение в размерности 1+1
Найдем решение уравнения
д2 д2
ot2 dx2
E (x,t) = 5(t)5(x). (6.84)
x
Фурье функции f (x) мы будем обозначать еймволом /(?)), мы получаем уравнение
d2% , t)
dt2
Из формулы (6.84) следует, что
+ ? 2E(?,t) = 5(t).
Следовательно,
E(?,t) = 0(t)sin??t) ,? є R1.
E(x,t) = "2^y exp(z?x)^^d?.
-oo
При вычислении этого интеграла полезно заметить, что
OO
exp(-i(? , x))0(a - |x|)dx = 2-
поэтому
F-1(^)=10(t -|x|).
Мы получаем
Утверждение 6.3.2. Решение уравнения (6.84) дается формулой
E(x,t) = ^0(t - |x|). (6.85)
Волновое уравнение в размерности 1+3.
Найдем решение уравнения д 2 \
— - Ax] E (x , t) = 5(t)5(x), t є R1, x є R3. (6.86)
dt2 J
440
Беря от (6.86) преобразование Фурье по переменной x, мы получаем уравнение
d2Ed|^ + ? 2E(?,t) = 5(t) ,t є R1 ,? є
Следовательно,
E(?,t) = e(t)sin^) ,t є R1 ,? є R3.
Применяя формулу обращения преобразования Фурье,получаем: V(t> 0)' E(x,t)^^y Rim j exp(i(? x))Sin^d? =
13
\«\<R
R / п
2n lim / \ exp(ir|x| cos(e)) sin(e)de I sin(rt)rdr =
1 \ 2 1
00
R
lim / 2 sin(r|x|) sin(rt)dr =
2п I \x\ R^oo i
0
M2 1 urn /^((t - |x|)R) sin((t + |x|)R)\ 2П/ ]xf V (t - |x|) (t + |x|) J
1 r5(|x|- t).
4n|xi
Таким образом, справедливо
Утверждение 6.3.3. Решение уравнения (6.86) есть функция
E(x,t) = —!— 5(|x| - t) , x Є R3. (6.87)
4n|x|
Волновое уравнение в размерности 1+2.
Найдем решение уравнения д 2
dt2 E(x , t) = 5(t)5(x), t Є R1, x Є R2.
Применяя формулу (6.87) к основной функции вида
0(x1, x2 , x3 , t) = ^(x1, x2 , t)x(x3 , 0 , R, 1), R — oo,
(6.88)
441
где функция x(x3 , 0 , R, 1) задается формулой (6.18), мы получаем, что решение уравнения есть функция
— оо
OO
4і / d? = —V 1 |; , x = (x1, X2) Є R2
x
2
Таким образом, справедливо
Утверждение 6.3.4. Решение уравнения (6.88) есть функция
E(x,t)=„ ^,-!?= ,x Є R2. (6.89)
27T4A2"
x
Уравнение теплопроводности.
Найдем решение уравнения
— - AJ E(x , t) = ?(t)?(x), t Є R1, x Є Rd. (6.90)
x
%^ + С2%,*) = од,
E«,«) = 0(t)exp(-e 2t). (6.91)
Совершая обратное преобразование Фурье, мы получаем
Утверждение 6.3.5. Решение уравнения (6.90) есть функция
E(x, t) = 0(t)(47t)—d/2exp(-x2/4t). (6.92)
Уравнение Лапласа.
Нам нужно найти решение уравнения
(-Ax)E(x) = ?(x), x Є Rd , d > 2. (6.93)
442
Сначала приведем фомальные выкладки, аналогичные тем, которые делаются в аналогичных случаях физиками. Имеем:
Є2%) = 1 , V(d > 3) : E(x) = F-1GC|-2)(x) =
OO OO
F-1(J exp(-t?2)dt)(x) = J F-1(exp(-t?2)(x)dt =
0 0
/(4nt)-d/2 exp(-|x|2/4t)dt =U-) ' 2 r(d/2 - 1),
4 \7г/ \|x
0
OO
d = 2 : E(x) - E(y) = — (exp(-|x|2/4t) - exp(-|y|2/4t))dt =
J 4n
0
- 2n(ln ^ - ln |y|).
Для обоснования этих выкладок используем теорию полугрупп, В пространстве L2(Rd , d?) функция
f (t) : ф(?) ^ exp(-C2t)^(C) (6.94)
есть полугруппа класса C0 (проверку этого утверждения мы оставляем
F
взаимно однозначное унитарное (с точностью до множителя (2n)-d) преобразование пространства L2(Rd , dx) в проетранетво L2(Rd , d?), функция
T(t) := F-1f(t)F (6.95)
в пространстве L2(Rd , dx) есть полугруппа класса C0. В пространстве L2(Rd , dx) оператop T(t) есть интегральный оператор
T(t)V(x) = j G(t, x , y)^(y)dy, (6.96)
G(t, x, y) = (4nt)-d/2exp(-(x - y)2/4t). (6.97)
Инфинитезимальный оператор полугруппы T (t) в проетране тве L2(Rd , dx) есть оператор Лапласа:
Ax = F-1 (-C2)F.
Пусть g(x , y) -интегральное 5ідро оператора (-Ax)-1. Из формулы (3.10.8)
443
и (6.96) следует, что
OO
g(x, y) = / (4nt)-d/2exp(-(x - y)2/4t)dt
