Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
f (Ф) = J Ш )F-1(Ф)(?К, (6.111)
откуда следует, что
V(/ Є Hs(Rd) , ф Є S(Rd)): |/(ф)|<
|f(?)|2(1 + |?|2)sd^ ( f |F-1 (ф)(?)|2(1 + |?|2)-sd?4
— 0 , ф -— 0. (6.112)
Из этого неравенства следуют два утверждения: во-первых, что каждая функция /(?) Є L2(Rd , (1 + |?|2)sd?) задает по правилу (6.111) линей-
S(Rd)
из сходимости последовательности распределений в метрике пространства Hs(Rd) следует сходимость в топологии пространства S(Rd)*.
Переходим к доказательству второго утверждения теоремы.
Пусть /(?) Є L2(Rd , (1 + |?|2)sd?) и fn Є S(Rd) такая последовательность, что
||fn - f | L2(Rd , (1 + |?|2)sd?)||— 0. //
F (/п)(Ф) = У fn(?)Ф(?)d? — J Ш )Ф(?)d?,
а так как в силу непрерывности преобразования Фурье
lim F(/п)(Ф) = F(lim /п)(Ф),
n—>оо n—>оо
то функция /(?) есть преобразование Фурье распределения lim fn.
448
Теорема доказана.
Из теоремы (6.4.1) следует, что при s > 0 пространство Hs(Rd) мож-
S(Rd)
где /(?) -преобразование Фурье-Планшереля функции f, и справедливо включение
L2(Rd , dx) С Hs(Rd), s > 0.
При s < 0 пространс тво H s(Rd) есть пространство распределений, которые действуют по правилу (6.111).
S(Rd)
V(f Є S(Rd)) : If | tfn(Rd)||2 = Из равенства Парсеваля следует, что |f | Hn(Rd)||2 = (2п)
/ ( E |Dmf (x)|2) dx.
\\ E П2) f(e)|2dC. (6.113)
\0<|m|<n у
Так как
3(C1 ,C2): C1(I + |?|2)n < |Cf < C2(1 + Ц|2)r
0<|m|<ra
то нормы || | H"n(Rd)|| и || | Hn(Rd)|| эквивалентны:
|| | H>(Rd)||~|| | Hn(Rd)||. В случае s = n + a, 0 < a < 1 положим
V(ф Є S(Rd)): ||ф | Hn"a(Rd)f /|D^(x)|2dx+
0<|m|<n
E // |x - УГ^ДГфф - D^(y)|2dxdy., 0 <a< 1 ,n = 0 , 1...
|m|=n
(6.114)
Теорема 6.4.2. На пространстве S(Rd) норма || | Hn+a(Rd)|| эквивалентна, норме || | H~n'a(Rd)|| :
|| | Hn+a(Rd)|| ~ || | Hn,a(Rd)||. (6.115)
449
n=0
) | H0,a(Rd)||2 =
'і ф(x) і 2(fe + //, x - y і -<d-> 1 ф(x) - ф(у) 1 2dxdy =
*(x)l2dx + //|//|-<d->Mx + y) - фМ|2 dxdy =
(2n)-d(7 |J(0|2de + j (J |exp(*(?, //)) - 1|2|//|-(d+2»d//) W«|2d?
Так как
3(C1, C2): C1(I + |?|2r < (і + а|2a) < C2(i + |?|2r,
n=
0
равенстве
— г/ГфИ,
и учтем, что
F (T/IV(x))(?) = ГТ (фИ)(?),
3(Ci, C2) : Ci(I + |?|2)k < 1 + (^m)2 < C2(1 + |?|2)k.
\m\<k
Теорема доказана.
Замечание 6.4.1. Из доказанной теоремы следует, что если фИ Є Hs(Rd) , s > 0 и функция x — y(x) есть такое гладкое невырожденное отображение пространства Rd — Rd, что y(x) = x , |x| > R0 , R0 < TO т0 функция x — ф(г/И) принадлежит пространству Hs(Rd),
На декартовом произведении пространств Hs(Rd) и H-s(Rd) определим билинейную форму BH (/ , g):
Hs(Rd) X H-s(Rd) э / X g — Bh(/ , g) = J (6.116)
Теорема 6.4.3. 1. Билинейная форма (6.116) определена корректно: интеграл в (6.116) сходится для всех / X g Є Hs(Rd) X H-s(Rd). 2. Справедливо равенство
||/ | Hs(Rd)|| = sup{|BH(/, g)| | ||g | H-s(Rd)|| < 1}. (6.117)
450
3. Для любого линейного функционала l Є Hs(Rd)* существует такой элемент gi Є H-s(Rd), что
V/ Є H s(Rd) : l(/) = Bh (/,gi). (6.118)
Доказательство. Первое утверждение следует из неравенства Коши-Буняковского:
|//(C)f(C)dC|2 </ |/(C)|2(1 + |C|2)sdCj |f(C)|2(1 + |C|2)-sdC.
Для доказательства второго утверждения заметим, что II/ | Hs(Rd)|| =
sup{| < jf0(C)*/(C)(1 + |C|2)sdC| | / |f0(C)|2(1 + |C|2)sdC < 1} = sup{|/ /(C)f(C)dC| | / |f(C)|2(1 + |C|2)-sdC < 1}.
Мы сделали замену
30(C) - f(C)*(1 + |C|2)-s. (6.119)
Для доказательства третьего утверждения теоремы заметим, что в силу теоремы Рисса
3(g0 Є Hs(Rd)) : l(/) =< g0 , / >= /f (C)/(C)(1 + |C|2)sdC.
Далее мы делаем замену (6.119). Теорема доказана.
6.4.3 Теоремы вложения.
Положим
V(/ Є S (Rd) , 0 <а< 1): II/ | Cn<a(Rd)|| = sup{|D^/(x)|x Є Rd}+
0<|m|<ra
Y sup{|DXT/(x + y) - (x)||y|-a | x Є Rd , |y| < 1}. (6.120)
|m|=n
Определение 6.4.4. Пространство C01-(Rd) -это пополнение простран-S( Rd)
451
Отметим, что если f є Cn'a(Rd), то
V(m, |m| < n) ¦ lim |Dmf (x)| = 0.
\x\—(oo
Действительно, если f Є Cn'a(Rd), то
V(e> 0) , ЗД Є S(Rd) ¦ ||f - fe | C^'a(Rd)|
< б,
поэтому
v(m , |m| < n , б > 0) ¦ lim sup |Dmf (x) | < б.
\x\—(oo
('. ie. ілчоїпая теорема называется теоремой вложения Соболева (он ее автор).
Теорема 6.4.4. Если распределение
f є Hd/2+n+a(Rd) , 0 < а < 1,
то оно задается функцией
f (x) є Con'a(Rd),
причем существует такая не зависящая от f константа C(d, а), что
v(f є Hd/2+n+a(Rd)) ¦ ||f | C^(R"*) || < C(d, a)||f | Hd/2+n+a(Rd)||.
(6.121)
Доказательство. В силу формулы обращения преобразования Фурье имеем:
v(m , |m| < n , f є S(Rd)) ¦ |D7 (x + y) - (x)| =
(2n)-
?"7(?)[exp(i(?,y)) - 1]exp(i(?,x))d?
<
const. / (1 + ?2 )n/2|f(?)|| exp(i(?, y)) - 1|d? <
const. /(1+ ? 2)n+d/2+a|/(? )|2d? X
1/2
exp
(i(?,y)) - 1|2(1 + ?2)-(d/2+a)d? <
1/2
constJIf I Hd/2+n+a(Rd)
exp
(i(?,y)) -1|2|?|-(d+2a)d?
1/2
C(d,a)||f | Hd/2+n+a(Rd)||y|a.
(6.122)
452
Поэтому
V(x є Rd , y Є Rd , \m\ < n , f Є S (Rd)) :
JD^/(x + y) - Dxmf (x)\\y\-a < C(d, a)Hf \ Hd/2+n+a(Rd)H.
Аналогично доказывается неравенство
V(m, \m\ < n, f Є S(Rd)) :
