Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Лемма 6.2.7. Если
z = x Є y,x Є Rp , y Є Rq , ф(г) Є D(Rp+q),
то функции
x — ф y) , y — ф y) принадлежат пространствам D(Rp) w D(Rq) соответственно.
Лемма 6.2.8. Если
x Є Rp , y Є Rq , z = x ф y, V(z) Є D(Rp+q), g Є D' (Rq),
mo
gy(^(x Ф y)) Є©^р). Доказательство. Без ограничения общности мы будем считать, что
Mipp'' <s K і ф K2,
K = {x | x Є Rp , |xj-1 < a , 1 < j < p}, K2 = {x | x Є Rq , |xj | < a , 1 < j < q}.
428
Из леммы 6.2,6 следует, что
DTgy(p(x 0 у)) = Qy(D^x 0 у)),
поэтому
llgy 0 у)) \ (N , V(RP) ,K1 )Ц =
Y supUD^gy(p(x 0 v))\x Є K1} =
0<\m\<N
Y sup{\gy(D^x 0 v))\x Є K1}
0<\m\<N
ф
x
\gy(D^(x 0 у))\ < C(K2)HD^x 0 у) \ (M(K2), V(Rq) ,K2)H = C(K2) Y sup{\DnDm^(x 0 у)\у Є K2} < то,
0<\n\<M (K2)
Следовательно,
y(K Є Rp ,N) , 3(C (K ,N) ,Ko Є RP+q , M (K ,N) < то):
llgy 0 у)) \ (N , V(RP) ,K)|| < C(K , N)Цф \ M, V(RP+q) ,KoH < то.
(6.54)
Лемма доказана.
Из леммы 6.2.8 следует, что корректно определено линейное отображение
У(д Є V(R9) , r Є V(RP)) :
V(RP+q) Э ip(x 0 у) — rx(gy(ip(x 0 у))). (6.55)
Из оценки (6.54) следует, что отбражение (6.55) непрерывно.
Определение 6.2.8. Определенное формулой (6.55) отображение называется прямым произведением распределений g Є V*(Rq) и r Є V'(RP):
r ® g : V(RP+q) Э pp(x 0 у) — r ® g(pp) := rx(gy(p(x 0 у))).
Аналогом теоремы Фубини для распределений является
Теорема 6.2.9. Прямое произведение распределений коммутативно:
W(g Є V'(Rq), r Є V'(RP), p Є V(RP+q)) :
rx(gy(pp(x 0 у))) = gy(rx(pp(x 0 у))). (6.56)
429
Для доказательства этой теоремы докажем имеющую самостоятельный интерес лемму.
Лемма 6.2.9. Множество всех функций вида фм(xi ... ,xd) =
У] Cal,...)ad0al(xi) . . . 0ad(xd) , 0aj Є V(R1) , N = 1 ... (6.57)
\aj\<N
V( Rd) .
Доказательство. Пусть
ф Є V(Rd), Mippr <ш K , K = {x \ x Є Rd , \xj\ < а}.
В кубе K0 = {x \ x Є Rd , \xj \ < 2а} разложим функцию ф в ряд Фурье по ортонормированной системе
en(x) = (4а)_<і/2 exp(ivr(n, x)/2a) , n Є Zd , x Є Rd.
Получим:
ф^) = Yl cn exp(in(n , x)/2a), (6.58)
\n\<oo
причем ряд (6.58) сходится абсолютно, равномерно и его можно дифференцировать почленно любое число раз. Пусть х( /) -функция типа "гриб" и
j1 ,и< (4/з)а
(0, (5/3)а< \ t\ < 2а.
Положим
фN (x1 ...,xd) = x(x1)... x(xd) Yl cn exp(in(n , x)/2a). (6.59)
\ n\ <N
Функция фдг есть функция вида (6.57) и
фN —* ф , N — оо. (6.60)
Лемма 6.2.9 доказана.
Теорема 6.2.9 следует из леммы 6.2.9, так как на функциях вида (6.57) равенство (6.56) верно.
Пример прямого произведения распределений -^-функция:
ад = ?(xi) 0... 0 ад).
Из (6.59) следует, что
V(f Є V , в«ррф <е K) : f (фN) — f (ф).
430
Замечание 6.2,1. Подставляя в (6.60) выражения для коэффициентов Фурье, мы получим, что для любого компакта K и любого функционала f Є V существует такая последовательноеть функций {fN Є C°° (Rd), что
V(supp0 ^ K) : f (0) = lim / fN(x)0(x)dx.
N-^oo J K
В качестве последовательности fN можно взять последовательность fN(x) = (4a)"d 52 fy(к(уі)... K(yd) exp(-in(n , y)/2a)) exp(in(n , x)/2a).
|ra|<N
Отметим, что отсюда легко следует теорема 6.2.2.
6.3 Фундаментальные решения дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами.
Дифференциальным оператором с постоянными коэффициентами называется оператор вида
P (D)= ? a(m)Dm, (6.61)
0<|m|<N
где
m = (m1,..., md) Є Zd , |m| = m1 + • • • md, a(m) Є C1,
DJT = (-ioei)mi ••• (-idxd)md. Оператор (6.61) имеет порядок N, если
A(P)2 := 52 Km)I2 = 0. (6-62)
|m|=N
В дальнешем мы будем предполагать это условие выполненным.
Определение 6.3.1. Распределение E называется фундаментальным
P(D)
P (D)E = 5. (6.63)
431
Часто вместо термина "фундаментальное решеие для оператора P(D)" используют термин "фундаментальное решеие для уравнения "
P (D)w = u. (6.64)
так как если E -фундаментальное решение для оператора P(D), то функция
w = E * u
есть решение уравнения (6.64):
P(D)(E * U) = (P(D)E) * u = 5 * u = и.
6.3.1 Существование фундаментального решения для дифференциального оператора с постоянными коэффициентами.
В этом параграфе мы будем считать, что пространство основных функций есть D(Rd) и пространство распределений есть V*(Rd). Мы докажем, что уравнение (6.63) имеет решение в пространстве V*(Rd). Доказательству мы предпошлем несколько лемм.
Сначала мы напомним известное в теории функций комплексной переменной неравенство.
Лемма 6.3.1. Если функция f (z) аполитична в круге |z| < Iu непрерывна при |z| < 1, то справедливо неравенство
if (о)|< -Л jT |f (expmde. (6.65)
Напомним доказателство этого неравенства. Из формулы Коши следует, что
f (0) = --.1 ffZ)dz = -Л Г f (exp(io))do.
-ni J\z\=i z 2тг J0
Теперь осталось вспомнить, что модуль интеграла меньше или равен интегралу от модуля интегрируемой функции.
Лемма 6.3.2. Если Q(X) ,X Є C1 -полипом степени n со старшим, коэффициентом, о:
Q(X) = cXn + aXn-1 + • • • Q0(X) n
Qo(O) = c, |Qo(exp(i0o))| = |Q(exp(iOo))| , 0 < во < 2п.
432
Доказательство. Пусть
Q(A) = c П (Л - aj).
