Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арсеньев А.А. -> "Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике" -> 90

Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.

Арсеньев А.А. Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике — НИЦ.: Регулярная и хаотическая динамика, 2009. — 505 c.
Скачать (прямая ссылка): lekcpofunkcanalizu2009.pdf
Предыдущая << 1 .. 84 85 86 87 88 89 < 90 > 91 92 93 94 95 96 .. 110 >> Следующая

AB
эти собственные функции совпадают с собственными функциями операторов G0 и G.
395
396
ГлсіВсі 6
Распределения.
Эта глава посвящена элементарной теории распределений (в русской математической литературе распределения часто называют обобщенными функциями) и ее можно читать независимо от остальных глав. Конечно, знакомый с содержанием главы 2 Читатель в приведенных конструкциях узнает прием построения топологии с помощью базы окрестностей нуля и топологии, индуцированной системой отображений, знакомый с содержанием главы 3 в доказательстве теоремы о полноте пространства распределений узнает вариант принципа равномерной ограниченности и т. д. Однако для понимания всех (за исключением теоремы о существовании фундаментального решения дифференциального уравнения в частных производных с постоянными коэффициентами) утверждений данной главы вполне достаточно тех сведений из математического анализа и начал функционального анализа, которые обычно сообщаются студентам на первом и втором курсах физических факультетов университетов, Тео-ема о существовании фундаментального решения опирается на теорему Хана-Банаха, которую можно принять без доказательства.
6.1 Пространство пробных функций.
В теории распределений основными являются два объекта: пространство пробных функций и пространство распределений. Пространство проб-
L
дано некоторое множество норм
\\ \\а : L э x — \\x\\a є R+ ,а є I.
397
Нормой на линейном пространстве называется такая функция || ||, которая удовлетворяет условиям:
1.V(x Є L) : ||x|| > 0 , (||x|| = 0) (x = 0).
2.||x + y|| < ||x|| + 3.||Ax|| = |A|||x||.
Мы рассмотрим два пространства пробных функций: пространство Шварца S (Rd) и пространство функций с компактным и носителями D(Rd), Напомним, что носителем функции ((x) называется замыкание множества тех точек x, вде |((x)| > 0:
supp(( := Cl({x | |((x)| > 0 | x Є Rd}),
а компактные множества в Rd -это ограниченные замкнутые множества.
6.1.1 Пространство Шварца.
Сначала мы рассмотрим пространство Шварца на прямой S(R1), обобщение на случай пространства Rd получается переосмыслением обозначений. Пусть
x Є R1 , Г/Г = (-iox)m.
Если это не может вызвать недоразумений, в дальнейшем мы будем опускать указание на переменную, по которой берется производная:
Гт = Г™
В современой теории дифференциальных уравнений широко применяет-
-i
цирования избавляет от необходимости писать этот множитель во многих связанных с преобразованием Фурье формулах и стало общепринятым.
Определение 6.1.1. Функция (((x) принадлежит пространству Шварца S(R1)
| x|
(ф Є S) ^ (V(m,p): sup{(1+ x2)p/2|Dm((x)| | x Є R1} < то). (6.1) Положим
||ф | (N,S)|| := Y sup{(1+ x2)p/2|Dm((x)| | x Є R1}. (6.2)
0<m<N, 0<p<N.
Определение 6.1.1 эквивалентно определению
398
ф
S(R1)
VN : ||ф | (N , S)| < то. (6.3)
Отметим полезное неравенство
V(m < N,p < N) : |r/^(x)| < (1 + х2)_р/2||ф | (N , S)||.
S(R1)
exp(—х2) , 1/ch(x) , exp(—(1 + x2)a), a > 0.
S(R1)
S(R1)
S( R1 )
V^, ф Є S(R1)) : аф + вФ Є S(R1). S(R1)
жения функций:
V^(x) Є S(R1), ф(х) Є S(R1)) : ф(х) • ф(х) Є S(R1). 3. Если ф(х) Є S(R1), mо Р>тф(х) Є S(R1), причем
Ртф | (N, S)y < Уф | (N + m,S)||. (6.4)
4- Если ф(х) Є S(R1) u P(х)-любой полипом,, то P(х)ф(х) Є S(R1).
ф(х) Є S(R1)
ф(х)-любая бесконечно дифференцируемая функция, которая вместе со
| х|
Vm, 3(C(m), n(m)), Vx : |r/^(x)| < C(m)(1 + |x|)n(m),
то ф(х)ф(х) Є S(R1).
Напомним определение преобразования Фурье в пространстве Rd:
х — (х 1,... х d) , dx — dx 1... dx d, х? = + ... + xdCd,
399
формулу обратного преобразования Фурье:
1 \ d
ф(х) =!^-) J-J exp(*x?)F (ф)(?)0?.
и равенство Парсеваля:
Ф(х)*ф(х)о1х =(2*)-d J F (ф)*(Є)Р )0?.
Иногда в формуле для преобразования Фурье берут знак плюс в экспоненте и соответственно знак минус в экспоненте в формуле для обратного преобразования Фурье. Это приводит к изменению знаков в некоторых других формулах.
Поясним пользу от введения оператора D, Применяя оператор D к обеим частям равенства в формуле для обратного преобразоваания Фурье в одномерном случае, мы получаем:
DФ(x) = 2ПП j- exP(^F(ф)(?)0?.
Следовательно,
F (D"V)(? )= CF (ф)(?). (6.5)
D
ференцирования: никаких дополнительных множителей не появляется. Напомним формулу для преобразования Фурье от гауссовой экспоненты:
S ¦¦ j exp(—ax2 — ix?)0x = exp(—?2/4a).
В дальнейшем нам будет удобно упростить обозначения: мы будем считать, что
/-7(...)ох Ч(...)ох.
Лемма 6Л.2. 1. Если ф Є S(R1), mo F(ф) є S(R1) и VN, 3(C(N) , M(N)) , У(ф Є S) :
||F(ф) | (N,S)||< C(N)U | (M(N) ,S)||. (6.6)
2. Если F(ф) є S(R1), mо ф Є S(R1), причем
VN, 3(C(N) , M(N)) , Vф :
||ф | (N , S )||< C (N )||F (ф) | (M (N) ,S )||.
400
Доказательство. Достаточно доказать первое утверждение. Пусть х Є Iі. Имеем:
\D? F (ф)(х)\
+те
ехр(-іху)утф(у)ау
(1 + x2)p/2DmF(ф)(х) < (1 + х2)pDmF(ф)(х)
+те
((1 - D2Y еМ-іху))утфШу
(интегрируем по частям
-+те
<
\(1 - D\Yymф(у)\ау
Но очевидно (вспомним формулу для производной от произведения двух функций), что существует такая константа C (p, m), что справедливо неравенство
Предыдущая << 1 .. 84 85 86 87 88 89 < 90 > 91 92 93 94 95 96 .. 110 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed