Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арсеньев А.А. -> "Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике" -> 102

Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.

Арсеньев А.А. Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике — НИЦ.: Регулярная и хаотическая динамика, 2009. — 505 c.
Скачать (прямая ссылка): lekcpofunkcanalizu2009.pdf
Предыдущая << 1 .. 96 97 98 99 100 101 < 102 > 103 104 105 106 107 108 .. 110 >> Следующая

Hf \ Cn'a(Rd)| < C(d, a)Hf \ Hd/2+n+a(Rd)H, (6.123)
Окончательно получаем:
V(f Є S(Rd)) : Hf \ Cn'a(Rd)H < C(d, a)Hf \ Hd/2+n+a(Rd)H. (6.124) Пусть распределение
f є Hd/2+n+a(Rd),
и последовательность функций fn(x) Є S(Rd) задает распределения fn, которые удовлетворяют условию:
Hf - fn \ H d/2+n+a(Rd)H ^ 0 ,n ДОС.
Так как последовательность fn сходится в метрике пространства Hd/2+n+a (Rd), она фундаментальна в метрике этого пространства. Из неравенства
Hfn - fm \ C0n,a(Rd)H < C(d, a)Hfn - fm \ Hd/2+n+a(Rd)H
fn( x)
рике пространства Cn'a(Rd) и поэтому в метрике этого пространства сходится к функции f0(x) Є Cn'a(Rd). Ясно, что функция f0(x) задает f
Теорема доказана.
Если 0 < \m\ < s т0 обобщенной производной порядка m функции f Є Hs(Rd) называется рассматриваемая как элемент пространства L2(Rd) функция
Dmf(x) = (2n)-d lim [ exp(i(x,?))?m/(?)d? (6.125)
\i\<R
m = (ml, m2 , ... md) , ? = (? 1, ?2 , ...)
D = Dx1 . . . Dxd ,
453
Предел в (6.125) понимается в смысле метрики пространства L2(Rd , d?).
Из доказанной теоремы следует, что если f є Hs(Rd) , s > d/2 + |m| + a , 0 < a < 1, то обобщенная производная Dmf (x) совпадает с классической.
Из доказанной теоремы и теоремы 6.4.3 следует, что любое медленно растущее распределение с компактным носителем принадлежит некоторому пространству Hs(Rd),
Действительно, если f є S*(Rd), то
3(C , N) , У(ф є S(W1)) : |f (ф)| < C\\ф | (N , S)\\.
Если K С Rd -компакт, то существует такая константа C(K), что
У(ф є S(Rd) ^ррф ^ K) : |\\ф | (N , S)\\<
C(K)\\ф | C0w'a(Rd)\\ < C(d, s)|ф | Hd/2+N+a(Rd)|.
Следовательно, любое медленно растущее распределение с компактным носителем задает линейный непрерывный функционал на некотором пространстве Hs(Rd) и поэтому может быть отождествлено с элементом пространства H _s(Rd).
Напомним, что следом функции f (x), x є Rd на многообразии M С Rd называется функция f (x), рассматриваемая как функция точки x є M
M С Rd
f(x)
надлежать пространству Hs(Rd), s > 0, инвариантно относительно гладких замен переменных x і—> y(x), то достаточно определить понятие следа на гиперплоскости, что и будет сделано ниже.
Пусть f (x) є Hs(Rd), s > 0. Тогда существует такая последовательность fn (x) є S(Rd), что
If - fn | Hs(Rd)\\— 0 ,n — то. (6.126)
На функциях из S(Rd) корректно определена операция ts взятия следа:
Ts : S(Rd) — S(Rd-1)) , Tsf (xi, .. .xd-i) = f (xi,... ,xd-i, 0). (6.127)
Теорема 6.4.5. Если
f є Hs(Rd), s > 1/2 , fn(x) є S(Rd) , \\f - fn | Hs(Rd)\\ — 0, n — то,
(6.128)
454
то
1. Последовательность
ts fn(xi,...,xd-l) = fn(x1 ...,xd-b 0)
сходится в пространстве- Hs-1/2(Rd-1) и ее предел, th/•'
Th f := lim Tsfn
n—>O0
зависит только от распределения f Є Hs(Rd) и не зависит от выбора
fn
2. Справедливо неравенство
||Thf | Hs-1/2(Rd-1)|| < C(d, s)||f | Hs(Rd)||. (6.129)
Описанную в теореме ситуацию можно пояснить на диаграмме: S(Rd) э fn( x1 , . . . , xd- 1 ,
ts
d-1
S (Rd-1) э fn(x1,...,xd-1, 0) -> th f
n—oo
f Є Hs(Rd) , tHf Є Hs-1/2(Rd-1).
Теорема утверждает, что если справедливо обозначенное верхней горизонтальной стрелкой предельное соотношение, то справедливо обозначенное нижней горизонтальной стрелкой предельное соотношение и корректно определено отображение
th : Hs(Rd) ^ Hs-1/2(Rd-1),
которое не зависит от выбора аппроксимирующей последовательности
fn
Распределение th f Є Hs-1/2(Rd-1) называется следом распределения f Є H s(Rd) на гипер плоек ости xd = 0. Доказательство. Пусть
OO
f Є S (Rd) , Fdf (x1,... ,xd-1|Cd) = j f (xb...,xd)exp(-i(fd , xd))dxd.
-O
Тогда
TSf(x1, . . . , xd-1) = f(x1, . . . , xd-1, 0) =
OO
455
Следовательно,
OO
Далее имеем:
ITSf(Єї,•••,Cd-I)!2 <
const.( f (1 + |Є 12)-?) x ( f If(Єї,•••,Cd-I,Cd)!2(1 + IC12)?)
-oo
OO
const(i + Є2 + • ••Cd-I)172-" X J If(Єї,•• •,Cd-UCd)I2^ + ICI2Mn,
-те
ITSf (Єl,...,Єd-l)l2(l+Ci2 + •••Cd-I)"-172 <
те
const J If(Cl, •••,Cd-I, Cd)I2 (1 + IC I2№,

J ITSf (Cl, • • •,Cd-i)I2(i + C2 + • • • Cd-i)s-1/4i • • • dCd-i <
const J If(Cl, • • •,Cd-l,Cd)I2(1 + ICI2)sdCl • ••Cd.
Мы доказали неравенство (6.129) для функций из f Є S(Rd). Из этого неравенства следует, что если последовательность fn Є S(Rd) фундаментальна в метрике Hsi?;dlo ііог.іе.чошпе.іьность thfn фундаментальна в метрике Hs-l/2(Md-l)1 Так как это справедливо для любой сходящейся в метрике Hs(Rd) к распределению f последовательности fn Є S(Rd), то предел последовательности th fn не зависит от выбора аппроксими-
fn f
Теорема доказана.
_ о
6.4.4 Пространства IV(I)).
Пусть D -отркрытая ограниченная область в Rd,
CS?(D) = {ф I ф Є C°°(Rd) ,8иррф т D}.
Определение 6.4.5. Пространство HP(D) -это замыкание множества Сте (D) в метрике пространства Hp(Rd):
Hp(D) := Cl(CS?(D)).
456
Пространство HP(D) мы рассматриваем как подпространство пространства HP(Rd) вместе с индуцированной из пространства HP(Rd) метрикой, скалярным произведением и нормой:
HP(D) С HP(Rd).
Если p > 1/2 и граница 3D области D достаточно гладкая, то пространство HP(D) можно расматривать как множество тех распределений / Є Hs(Rd), которые равны нулю на границе области D, Ясно, что
Предыдущая << 1 .. 96 97 98 99 100 101 < 102 > 103 104 105 106 107 108 .. 110 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed