Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
При d = 2 необходима регуляризация интеграла: g(x> y) - g(x> z) =
OO
4L A|exp(-At^exp(-(x - y)2/4t) - exp(-(x - z)2/4t^ dt =
o
— (ln |x - z| - ln |x - y|), x , y , z Є R2. (6.99)
Мы доказали
Утверждение 6.3.6. Решение уравнения (6.93) дается формулой
E(x) = {1 (П>d/2 (RҐ r(d/2 - 1) ,d > 3, (6.100)
у-2П ln |x| , d =2.
6.4 Пространства Соболева.
6.4.1 Преобразование Фурье-Планшереля.
Напомним определение преобразования Фурье функций из пространства Шварца:
Є S(Rd)) : F(ф)(?) = jexp(-«(x , ?)^(x)dx, (6.101) формулу обратного преобразования Фурье:
Є S(Rd)) : ф(x) = (2п)-^exp(i(x, ?))F(ф)(?)d?, (6.102) и равенство Парсеваля:
Є S(Rd)): / |ф(x)|2dx =(2п)-^ |F(ф)(?)|2d?. (6.103)
444
Интегрирование везде ведется по пространству R.
В дальнешем нам будет удобно использовать введенное ранее обозначение
?(? ):= F (ф)(?). (6.104)
Ясно, что формулой (6.101) можно определить преобразование Фурье только для тех функций ф, для которых интеграл в (6.101) сходится. Наша ближайшая цель состоит в том, чтобы распространить определение преобразования Фурье на все функции из L2(Rd , dx).
Лемма 6.4.1. Пространство Шварца, S(Rd) плотно в L2(Rd , dx) по метрике пространства, L2(Rd , dx):
Cl(S(Rd)) = L2(Rd , dx).
Доказательство. Пусть
L2(Rd , dx) = Cl(S(Rd)) 0 Hg.
Докажем, что
Hg = 0.
Если /0 Є Ho, то функция /0 ортогональна любой функции из S(Rd). В частности, функция /0 ортогональна любой функции типа "гриб", поэтому функция /0 ортогональна характеристической функции любого параллеллипипеда K С Rd:
VK : У fo(x)dx = 0.
к
/0
и поэтому равна нулю почти всюду. Лемма доказана.
Следствие 6.4.1. Если ф Є L2(Rd , dx), то существует такая последовательность фп Є S(Rd), что
||ф - фп | L2(Rd , dx)|| — 0 , n — то. (6.105)
Если последовательность {фп} удовлетворяет условию (6.105), то она фундаметальна в L2(Rd , dx). Из равенства Парсеваля следует, что последовательность преобразований Фурье {фп} фудаментальна в L2(Rd , d?). Следовательно,
3?) : 1\Ф - Фп | L2(Rd , d?)|| — 0 , n — то. (6.106)
445
Определение 6.4.1. Если функции ф Є L2(Rd , dx) и ф Є L2(Rd , d?) связаны равенствами (6.105)-(6.106), то мы говорим, что функция ф є L2 (Rd , d?) есть преобразование Фурье-Планшереля функции ф є L2 (Rd , dx):
Й?) := lim J„(?), (6.107)
где последовательность {фп} удовлетворяет условию (6.105).
Ясно, что преобразование Фурье-Планшереля определено на всем пространстве L2(Rd , dx), оно преобразует пространство L2(Rd , dx) в себя, для него справедлива (соответственно обобщенная) формула обращения и формула Парсеваля. В дальнешем мы не будем делать различия между заданным формулой (6.101) преобразованием Фурье и определенным формулой (6.107) преобразованием Фурье-Планшереля.
6.4.2 Определение и основные свойства пространств Соболева.
Напомним, что заданная в Rd функция f (x) называется локально интегрируемой:
f Є Lloc(Rd),
если для любого компакта K С Rd справедливо включение:
f Є L\K).
Определение 6.4.2. Распределение f Є S(Rd)* принадлежит пространству Соболева Hs(Rd), если
f
грируемой функцией:
3(Д?) Є Lioc(Rd)) , У(Ф Є S(Rd)) :
F(f )(ф) = f (F(ф)) = J Ш)ф(№. (6.108)
2. Задающая преобразование Фурье функция удовлетворяет условию: If | Hs(Rd)||2 =у )|2(1 + |?|2«< оо. (6.109)
Если распределение f задается функцией f (x) Є S(Rd), то входящая в (6.108) функция /(?) есть преобразование Фурье функции f (x), но в
446
общем случае в определении не требуется, чтобы функция /(C) обязательно была бы преобразованием Фурье некоторой функции,
Входящй в определние пространства Соболева Hs(Rd) параметр s может принимать любое значение:
— ею < s < ею.
Определение 6.4.3. Заданная в пространстве Rd функция / (x) принадлежит пространству Соболева Hs(Rd), если порожденное функцией /(x) распределение
/ : ф /(x)0(x)dx принадлежит пространству Соболева Hs(Rd), Ясно, что
V(s > 0) : Hs(Rd) С L2(Rd , dC),
а так как преобразование Фурье переводит пространство L2(Rd) в себя, пространство Hs(Rd) при s > 0 может быть отождествлено с подпро-
L2(Rd)
Приведем примеры,
1, Пусть / = («-функция. Преобразование Фурье распределения / задается функцией /(C) = — Имеем:
У (1 + |C|2)s • IdC < 00 ,если s < -d/2.
Следовательно,
?(x) Є Hs(Rd) при s < -d/2.
2. Пусть /(x) = 0(1 - |x|) , x Є R1. Преобразование Фурье функции /(x) есть функция
OO
sin C
exp(-ixC)0(1 - |x|)dx = 2 C .
-O
Имеем:
/(1 + |C |2)S 4 (Si|C) dC < то ,если s < 1/2.
Следовательно,
0(1 - |x|) Є H^(R1) при s < 1/2.
447
Теорема 6.4.1. 1. Пространство Соболева Hs(Rd) есть гильбертово пространство со скалярным произведением
< f, g >= J /(?+ |?|2)sd?. (6.110)
2. Распределения, задаваемые функциями f (x) Є S(Rd), плотны в Hs(Rd) по метрике пространства Hs(Rd).
Доказательство. Для доказательства первого утверждения нам достаточно доказать, что каждая функция /(?) Є L2(Rd , (1 + |?|2)sd?) есть преобразование Фурье распределения из f Є S(Rd)*. Для доказательства этого утверждения заметим, что, как следует из (6.108), распределение f Є Hs(Rd) действует на основную функцию по правилу:
