Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Теперь легко привести пример функции из пространства D(Rd): достаточно взять любую бесконечно дифференцируемую функцию и умножить ее на функцию x(x ,Xo , R , t).
Для функций из пространства D(Rd) справедливы утверждения леммы 6.1.1, но преобразование Фурье функции из пространства D(Rd) есть целая функция и не принадлежит пространству V(Rd).
Сходимость в пространстве D(Rd).
Определение 6.1.8. 1. Последовательность фп Є D(Rd) сходится к нулю в пространстве D(Rd), если выполнены два условия:
1. Ж , Vn : шррфп (I K , K — компакт и не зависит от n, (6.19)
2. VN : \\фп | (N , D(Rd) ,K)\\ — 0 , n — то. (6.20)
2. Последовательность фп Є D(Rd) сходится к функции ф Є D(Rd) в пространстве D(Rd), ^^^и ^^^^^довательность (фп — ф) Є D(Rd) сходится к нулю в пространстве D(Rd).
Определение 6.1.9. Последовательность фп Є D(Rd) фундаментальна в пространстве D(Rd), если выполнены два условия:
1. 3K , Vn : supрфп (I K , K компакт и не зависит от n, (6.21)
2. VN : lim sup \\фп+т — фп | (N , D(Rd) ,K)\\ = 0. (6.22)
n—oo m>o
Дословным повторением проведенных для пространства Шварца рассуждений легко доказать, что последовательность фп Є D(Rd) сходится в пространстве D(Rd) к функции ф Є D(Rd) в том и только том случае, если она фундаментальна в пространстве D(Rd), но для пространства D(Rd) не существует метрики, которая задавала бы сходимость.
6.2 Распределения.
Те элементарные факты из теории распределений, которые будут доказаны ниже, формулируются и доказываются одинаково и для пространства D(Rd), и для пространства S(Rd). Для определенности мы в основном рассмотрим случай пространства S(Rd), оставив читателю формулировку и полные доказательства для случая пространства D(Rd) (как правило, в случае пространства D(Rd) доказательства можно упростить).
406
6.2.1 Медленно растущие распределения.
Отображение
/ : S(Rd) э ф — / (ф) Є C1 называется линейным функционалом на пространстве S(Rd), если
У(фі, ф2 Є S(Rd)) : /(афі + вф2) = а/(фі) + в/№).
/
рывным, если
(У(фп — 0 , n — оо)) == (/(фп) — 0 , n — оо).
Определение 6.2.1. Линейный непрерывный функционал на пространстве Шварца S(Rd) называется медленно растущим распределением.
Множество всех медленно растущих распределений обозначается символом S(Rd)*.
Приведем примеры.
Пусть функция / (x) , x Є R1, кусочно-непрерывна и удовлетворяет оценке
Vx : |/(x)| < C(1 + |x|)m. (6.23)
Положим
У(ф Є S) : /(ф) = J /(x^(x)dx. (6.24)
Справедлива очевидная оценка:
|/(ф)|< C'||ф | (m + 2 ,S)||,
из которой следует, что заданный формулой (6.24) линейный функционал непрерывен на S(Rd). Следовательно, формула (6.24) задает медлен-
/(x) /
/ /(x)
/(x) /
Функционал и задающий этот функционал функцию мы обозначили одним и тем же символом. Это не может привести к недоразумениям, так как аргумент функции есть точка пространства Rd, а аргумент функционала есть функция и из контекста обычно бывает ясно, о чем идет
/(x)
в (6.24) растет не быстее степени. Однако не любое медленно растущее распределение можно представить в виде (6.24). Функционал
*(ф)= ф(0) (6.25)
407
линеен и непрерывен, но он не может быть представлен как интеграл Римана от произведения кусочно-непрерывной функции и функции из пространства Шварца.
Задаваемый формулой (6.25) функционал называется ^-функцией.
Позже мы докажем, что любое медленно растущее распределение можно в некотором смысле представить как предел, распределений вида (6.24).
Иногда, чтобы подчеркнуть, что функционал f применяется к функции
у — ФІУ),
значение функционала f на функции ф мы будем обозначать символом
Л(Ф(у))-
Теорема 6.2.1. Линейный функционал, f на, пространстве Шварца S(Rd) непрерывен в том и только том случае, если
3 (N,0) , У(ф Є S(Rd)): |f (ф)|< C||ф | (N,S)||. (6.26)
Достаточность условия (6.26) очевидна из определения сходимости к нулю в пространстве Шварца. Доказательство необходимости условия (6.26) аналогично доказательству теоремы 6.1.2. Пусть условие (6.26) не выполнено. Тогда существует такая последовательность фп Є S, что
If(фп)|> П2||фп | (n,S)||.
Положим
Фп = фп/(пЦфп | (П, S)||) .
Так как
V(n > M) : ||фп | (M , S) || < ||фп | (п, S) || = 1/п — 0 , п »то,
то
фп » 0 , п —> оо.
Но
|f (Фп)| > п — О , п — О,
f
Теорема 6.2.2. Если f Є S(Rd)*, то существует такая последовательность непрерывных функций с компактными носителями fn(x), что
Є S(Rd)) : f (ф) = lim f и(х)ф(х)сІх. (6.27)
408
Доказательству теоремы мы предпошлем несколько лемм.
Лемма 6.2.1. Если ф Є S(Rd) и фупкция к(х ,x0 , R, е) определена равенством (6.18), то
к(х, 0 , R , 1)ф(х) — ф(х) ,R — то. (6.28)
Для доказательства леммы достаточно заметить, что
, 0 , R, 1) - 1)ф | (N,S )|| < C(1 + R2)-1Нф | (N + 2 ,S)Н.
Положим
u(x , а) = y—j exp(—ах2). (6.29) Лемма 6.2.2. Если ф Є S(Rd), то
j и(х — y , а)ф(у)ау ф(х) ,а — то. (6.30)
Для доказательства леммы нужно вычислить преобразование Фурье от правой части (6.30), воспользоваться примером (6.12) и непрерывностью преобразования Фурье.
Пусть Bn -банахово пространство, полученное пополнением пространства S(Rd) то норме Н | (N , S)|| , ф(у) Є V(W1). При фиксированном у Є Rd функция и(х — у, а), рассматриваемая как функция переменной ./•.принадлежи! пространству Bn.
