Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арсеньев А.А. -> "Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике" -> 89

Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.

Арсеньев А.А. Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике — НИЦ.: Регулярная и хаотическая динамика, 2009. — 505 c.
Скачать (прямая ссылка): lekcpofunkcanalizu2009.pdf
Предыдущая << 1 .. 83 84 85 86 87 88 < 89 > 90 91 92 93 94 95 .. 110 >> Следующая

/ (t) = ^^/"f (/XOexpTOde
и равенство Парсеваля
[/,g] = ^[F(/) ,F(g)].
Для доказательства этих формул достаточно заметить, что если {ej} -
H
/ (t) = Y < ej, /(t) > ej j
/
F(/)(?) = Y F(< ej , /(t) >)(?)ej = Y < ej, F(/)(?) > ej, jj
t
дуют из классических формул для скалярного преобразования Фурье. На L2([R1 — H] , dt)
Второе замечание, которое нам понадобится ниже, состоит в следующем.
391
Если функция f (t) непрерывна на полуоси [0 , то) и lim f (t) = a < то,
t—>оо
то
a = lim e\ exp(-et)f (t)dt.
6—0 J0
Теперь предположим, что волновые операторы W± (B , A) существуют. Тогда
< ф , W+(B , >= lim <ф, W (^ф >=
t—оо
lim < exp(-itB)'if), exp(—itA)ф >=
t—оо
/оо exp(-2et) < exp(-itB)ф , exp(—itA)ф > dt =
6—0 J0
" OO
lim2e / exp(-2et)0(t) < exp(-itB)ф , exp-tA^ > dt. (5.41)
6—0 J-00
Найдем преобразование Фурье функции
g(t): t — 9(t) exp(-et - itB)ip.
Имеем:
OO poo
F(g)(?) = e(t) exp(-i?t - et - itB)ipdt =

exp(-i?t - et - it\)dt]dAE(X, B)'' = (i? + iX + e)-1 dAE(X, B)ip = iR(ie - ? , B)ip.
>
Воспользовавшись равенством Парсеваля, из (5.41) получим:
о0
OO
e го°
< ф , W+(B , А)ф >= lim - I < R(X + ie , B)'' , R(X + ie , > dX.
6—+0 TT J-о
(5.42)
Аналогично доказывается равенство
< ф , W- (B , А)ф >= lim - < R(X - ie , B)i\>, R(X - ie , > dX.
6—+0 n J-oo
(5.43)
392
В общем случае вычисление пределов (5.42)-(5.43) -довольно трудная задача, однако в рассмотренной нами (см. стр. 323) модели Фридерихса эти пределы легко вычисляются.
Воспользовавшись формулами (4.145)-(4.146), мы получаем:
те
< R(A + гє , B)ф , R(A + гє , > dA =
те те
< Q(A + гє , B)ф , R(A + гє , A)R(A - гє , > dA =
е
е1
( Q(A + гє , B)^(x)*((x - A)2 + є2)-1ф(ж)Жс)<и —
п J-те Jo
/ ^+ф(ж)*ф(ж)^ж =< ф , Z+ ф > . o
Следовательно
W+ф = Z± ф,
где операторы ZjJl определены формулой (4.148) на стр. 324.
Обратим внимание на следующее обстоятельство. Операторы Z± диа-B
Z±B = AZ± , BZ± = Z±A,
что согласуется со сплетающим свойством волновых операторов. Так как операторы Z± унитарны, то справедлива формула
W = ZI = Z-1.
Матрица рассеяния в диагональном представлении оператора A. Предположим, что пространство H диагонализует оператор A:
H = L2((a , b) — h) , h = L2(ft , dw), Aф(? , w) = ^ф(^ , w).
Предположим, что в этом представлении оператор T(A) при Re A > 0 есть интегральный оператор с гладким (непрерывным и ограниченным ) по переменным A , ? , V ядром:
VA > 0 : T(A^(? , w) = f t(A + г0 | ? , w ; v , w'^(v , w')dvdw'. (5.44)
393
Теорема 5.4.1. Пусть выполнены сделанные выше предположения и оператор B — А ядерный. Тогда оператор рассеяния в пространстве И задается формулой:
S (B , А)ф(Х , и) = ф(Х, и) — 2ni Jt(X + i0 | X , и , X , J )ip(X , J)dJ.
(5.45)
Доказательство. Имеем:
id — S(B , А) = W+ (B , A)W+(B , А) — W+ (B , A)W-(B , А), id — S(B , А) = W+ (B , A)(W+(B, А) — W_(B , А)), < ф, (id — S(B , А))ф >= +°° d
— < ф, W+ (B , A) exp(iBt) exp(—iAt)V> > dt =
° dt

< ф, W+ (B , A) exp(iBt)(B — A) exp(—iAt)V> > dt =
°
/+°o < exp(—iBt) W+(B , А)ф, (B — A) exp(—iAt)V> > dt = °
/+°o < W+(B , A) exp(—iAt^, (B — A) exp(—iAt)V> > dt = ¦oo
/+°o < exp(—iAt)ф, W+(B , A)*(B — A) exp(—iAt)V> > dt. °
Теперь учтем, что согласно (5.42) на стр. 392 и (3.115) на стр. 191: < exp(—iAt^ , W+(B , A)*(B — A) exp(—iAt)V> >=
lim - < R(X + i6 , A) exp(—iAt)ф, R(X + i6 , B)(B — A) exp(—iAt)V> >= б Г °°
lim - / < R(X — i6 , A)R(X + i6 , A) exp(—iAtU, T(X + i6 , А , B) exp(—iAt)V> >
A
-R(X — i6 , A)R(X + i6 , А) = -((X — u)2 + б2)-1 — 5(X — u), п п
< . . . exp(—iAt) . . . , . . . exp(—iAt) . . . > dt = (... j exp(i(v — ju)t)dt)dju = 2п /(... • ... 5(v — u))djU.
394
Теорема дказана.
В елуча модели Фридрихеа пространство q состоит из одной точки,
и
- 1-^0)^ =
1 - g(A + І0) - 2тгш(А)2 1 - g(A - І0) -1 - g(A + i0)-Ф(А) = 1 - g(A + i0)Ф(А).
Мы получили классческую формулу.
5.5 Комментарии и литератутные указания
На русском языке изложение математической теории рассеяния есть в книге [22]. В этой книге изложен очень большой материал и подразумевается, что читатель может сам восстановить многие технические детали рассуждений.
Покажем, как традиционные задачи дифракции и рассеяния на короткодействующем потенциале можно исследовать изложенными выше методами. Пусть Lo и L дифференциальные операторы, которые описывают невозмущенную и возмущенную задачи. Для простоты будем счи-Lo L
Пусть G0 (в) и -функции Грина задач Коши:
3?Go(в) = -LoGo(e) , d?G(e) = -LG(e).
Функции Грина строятся традиционными методами теории дифференциальных уравнений: последовательными приближениями, потенциалами, продолжением по параметру. Соответствующие построения подробно описаны в учебной литетатуре. При широких предположениях операторы G0 (в) и G(в) -интегральные операторы с "хорошими" ядрами. Далее
-Lo -L
финитезимальные операторы полугрупп в — G0 (в) , в — G^) и полагаем A = G0 (в) , B = G^)- Если оператор L - L0 подчинен (в смысле теории дифференциальных уравнений ) оператору L0, то оператop B - A оказывается, как правило, ядерным и можно применять изложенную выше теорию. Имеющие физический смысл величины обычно выражаются
Предыдущая << 1 .. 83 84 85 86 87 88 < 89 > 90 91 92 93 94 95 .. 110 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed