Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике - Арсеньев А.А.
Скачать (прямая ссылка):
2. E(Л, B) W±(B , А) = W±(B , A)E(Л , А). (5.24)
3. Im(W±(B , А)) С Рас(В)H. (5.25)
+
||W+(B, А)ф|| = lim || exp(itB) exp(—йА)Вас(А)ф| =
t—оо
lim || exp(—г*А)Вас(А)ф|| = ||Рас(А)ф||.
t—оо
Первое утверждение теоремы доказано. Далее имеем:
V(t Є R1) : W+(B , А) exp(—ггА)ф = lim exp(itB) exp(—гіА) exp(—ггА)Рас(А)ф =
t—оо
exp(—irB) lim exp(itB) exp(—г^А))Рас(А)ф = exp(—irB)W+(B , А)ф,
t—оо
следовательно,
exp(—zrB)W+(B , А) = W+(B , А)єхр(—ггА). Поэтому
, ф) : < ф , exp(—«rB)W+(B , А)ф >= < ф , W+(B , А) exp(—ггА)ф >=< W+(B , А)*ф, exp(—ггА)ф >,
jexp(—ггЛ)^л < W+(B, А)*ф, E(Л, А)ф >= j exp(—ітЛ)(4 < ф, E(Л , B)W+(B , А)ф >,
378
и из единственности преобразования Фурье следует равество < ф, E(A , B), >=< W+(B , A)>, E(A , >, поэтому
, ф) : < ф , W+(B , A)E(A , >=< ф, E(A, B)W+(B , > .
Второе утверждение теоремы доказано. Из этого утверждения следует, что
||E(A, B)W+(B, AM| = ||W+(B|,, A)E(A , A)Pac(A^|| = ||E(A , A)Pac(A^||.
Правая часть этого равенства есть абсолютно непрерывная функция параметра А. Следовательно, W+(B , Є Pac(B)H. Теорема доказана.
Соотношение (5.24) называется сплетающим свойством волновых операторов.
Следующая теорема называется теоремой об умножении волновых операторов.
Теорема 5.2.2. Если волновые операторы W±(B, A) и W±(C, B) существуют, то волновой оператор W±(C, A) существует и выполнено равенство
W±(C,A) = W±(C, B)W±(B, A). (5.26)
Доказательство. Сначала заметим, что
lim exp(itC)exp(-itB)(Pac(B) - id) lim exp(itB) exp^itA^a^A^H =
t—±oo t—±oo
||(Pac(B) - id) lim exp^expHtA^A^H = 0.
t—±oo
С учетом этого замечания, имеем:
W±(C, B)W±(B, A)ф = lim exp(itC)exp(-itB)Pac(B) lim exp(itB) exp^iLAlP^A^ =
t—±oo t—±oo
lim exp(itC)exp(-itB) lim exp(itB) exp(-iiA^^A^+
t—±oo t—oo
lim exp(itC)exp(-itB)(Pac(B) - id) X
t—±oo
lim exp(itB) exp(-uA^^A^ =
t—±oo
lim exp(ztC^xpHtA^actA^ = W±(C, A).
t—±oo
379
Теорема доказана.
Определение 5.2.2. Если
Im(W±(B , A)) = Pac(B)H, (5.27)
то волновой оператор W±(B , A) называется полным.
Теорема 5.2.3. Если хотя, бы, один волновых операторов W±(B , A) полный, то
1. Этот оператор обратим и операторы E(Л , B)Pac(B) м E(Л , A)Pac(A) унитарно эквивалентны:
У(ф Є Pac(B)H) : E(Л , B)Pac(B^ =
W±(B , A)E(Л , A)Pac(A)W±(B , A)-1ф (5.28)
2. Существует волновой оператор W±(A, B).
3. Если существуют оба волновых оператора W±(B , A) u W±(A , B), то они полны.
Доказательство. Если выполнено условие (5.27), то к пространствам Pac(A)H , Pac(B)H
W±(B , A) Є L(Pac(A)H ^ Pac(B)H)
мы можем применить теорему Банаха об обратном операторе (см. стр. 168) и первое утверждение теоремы следует из равенства (5.25). Если
У(ф Є Pac(B)H) , 3(ф Є Pac(A)H) : ф = W±(B , A^,
то
У(ф Є Pac(B)H) : lim ||ф — exp(itB) exp(—^)ф|| =
t—±oo
lim || exp(itA) exp(—itB)ф — ф| = || W±(A , B)ф — ф|.
t—>±oo
Второе утверждение теоремы доказано.
Если существуют оба волновых оператора, то по теореме об умножении волновых операторов имеем:
Pac(A) = W±(A,B)W±(B, A), Pac(B) = W±(B, A)W±(A, B).
Эти равенства доказывают, что
Pac(A)H = Im(W±(A , B)) , Pac(B)H = Im(W±(B , A)).
Теорема доказана.
Пусть существуют операторы W±(B , A) , W±(A , B).
380
Определение 5.2.3. Оператором рассеяния S(B , А) называется оператор
S (B , А) = W+(B ,A)*W—(B,A). (5.29)
S(B , А)
А
Доказательство. Имеем:
f (A)S(B , А) = f (A)W+(B , A)*W—(B , А) = (W+(B, A)f (A)YW—(B, А) = (f (B)W+(B , A))*W— (B , А) = W+(B , A)*f (B)W—(B , A) = W+(B , A)*W—(B , A)f (A) = S(B , A)f (A).
Теорема доказана.
5.3 Признаки существования волновых операторов и принцип инвариантности волновых операторов.
Сначала мы докажем несколько вспомогательных утверждений. Лемма 5.3.1. Если K -компактный оператор, то
Є Hac) : Hm ||Kехр(-ИА)фЦ = 0. (5.30)
Доказательство. Используя разложение Шмидта (см. (4.60) на стр. 296), мы получаем:
||K ещ>(-иА)фЦ2 = Y Sj(K)2| < g3 , ехр(-ИА)ф > |2 + j] Sj(K)2| < g3, ехр(-ИА)ф > |2
1<j<n j>n
< Sj(K)2| < gj , ехр(-гіА)ф > |2 + Sn(K)2ЦфЦ2 , Sn(K) — 0 ,п — оо.
1<j<n
Ho
Є Hac) : < gj , ехр(-иА)ф >= J exp(—itХ)и^(gj , ф, Х)dХ — 0 , t — оо,
что и доказывает наше утверждение.
Следующая важная в теории рассеяния лемма называется леммой М. Розенблюма.
381
Лемма 5.3.2. Если T - оператор Гильберта-Шмидта (см. определение нормы Гильберта-Шмидта на стр. 300)и ф Є M (А) (определение этого пространства см. на стр. 375), то справедлива оценка:
Texp(—гіА)фу2^і < 2п||ф | М(А)||2||Т | NS||2. (5.31)
Доказательство. Используя разложение Шмидта, мы получаем:
Texp(—йА)ф||2<Й = / ( J] S3(T)2| <g,, exp(—гіА)ф> |2 ) dt
^ \1<7<оо
J] Sj(T)2 I I u(gj, ф, Л)єхр(—гЛt)dЛ|2dt.
1<j<oo ^ ^
Л
венство (5.14), мы получаем:
T exp(—гіА)ф||^і = 2n J] Sj(T)2 f Kg , ф,Л)|^Л <
1<j<oo ^
1<j<oo J
2тт||ф |M||2 J] Sj (T)2/ w(gj ,gj, Л)гіЛ = 2тг||ф | M||2||T | NS ||2.
1<j<oo J
Лемма доказана.
Пусть -самосопряженные операторы с общей областью опреде-
ления
Бот(А) = Dom(B) = D
и R -плотное в множество:
Cl(R) D HaC}
которое содержится в области определения операторов А и B:
