Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
5. Предположим, что в (3.2.30) «і имеет каноническую жор-данову форму
'Я, 1 0 ...
0 А 1 0 ...
O1 = 0 0 Я 1 0 ...
0 %
И единственный собственный вектор Vn- Пусть (Уь . . . , Vn) такой ортонормированный базис, что
Ct1Un = Kvn,
OyV^l = Xv п_х +Vn,
aiVn-2 = hvn-2+ Vn-I и т. д.
(а) Покажите, что линейная оболочка векторов (vm, Vm+1, . . . ..., vn) является инвариантным подпространством а_і для лю- Упражнения 302
бого т = 1, ..., п. Покажите, что две коммутирующие матрицы имеют одинаковые инвариантые подпространства.
(b) Покажите, что собственный вектор Vn матрицы осх отвечает закону сохранения, зависящему от (и, их, ..., щр~п*), что Vn-1 отвечает закону сохранения, зависящему от (vn, и, их,
... , Щр-D*), И Т. Д.
(c) Покажите, что любая абелева алгебра Ли соответствует набору законов сохранения рассматриваемого уравнения и что они могут быть как тривиальными, так и нетривиальными.
6. Покажите, что уравнение
Щ + иххх + f(и)их=0
имеет псевдопотенциал, зависящий от (и, их, цхх), тогда и только тогда, когда
f (и) = c0 + c1U + c2U2
(Уолквист и Эстабрук [497]).
7. Докажите, что соотношения (3.2.21) не имеют неабелевых решений. Пусть а, ?, y, S являются N X ^-матрицами; выберем систему координат для q так, чтобы в ней матрица а имела нормальную жорданову форму.
(a) Предположим, что а диагональна. Покажите из (3.2.21а), что а = 0. Покажите, что при этом алгебра Ли является абеле-вой.
(b) Теперь предположим, что матрица а не может быть диа-гонализована. Пусть матрица а имеет только одно собственное значение (X) и один собственный вектор. Вычислите след соотношения (3.2.21а) и покажите, что X = O. Поэтому
Щ. 1+1 = !> ач = 0 (ІФі + !)• Покажите, что из (2.2.21а) следуют соотношения Y/, і = 0 если і > /, Yt, I = IjT M для некоторого М, г = 1 ..., N. Вычислите след выражения (2.2.21 d) и покажите, что
M = -(N+ 1)/2.
Покажите, воспользовавшись (3.2.21d), что
?z+i, I = HN — /)/2 > 0, /==1, 2, N- 1. В (3.2.21Ь) обозначим Q= [а, б] + [?, y] — Вычислите г=1 (Q)z+i, і и покажите, что при этом возникает противоречие для N >1.
(c) Осталась единственная возможность: матрица а имеет более чем один, но менее N собственных векторов. Таким обра- 302
3. Различные перспективы
зом, а имеет две или более жордановы клетки вдоль диагонали и нули в остальных местах. Базис можно выбрать так, чтобы самая большая клетка была располжена в левом углу. Вычислите частичный след соотношения (3.2.21а) для каждой клетки и покажите, что все собственные значения матрицы а равны нулю. Матрицу Y можно разбить на блоки, согласованные с а, но при этом ее недиагональные блоки (которые, вообще говоря, могут не быть квадратными) не обязательно равны нулю. Покажите, что диагональные блоки имеют точно такой же вид, как в случае (Ь), и iIto каждый недиагональный блок является верхнетреугольным. В остальном доказательство такое же, как в п. (Ь), за исключением того, что, воспользовавшись (3.2.21(1), следует доказать равенство нулю собственных диагоналей недиагональных блоков Y- Определим R = [«, ?] — Y> тогда Zi(R< + i.i) (см. (3.2.21 d) приводит, как и в предыущем случае, к противоречию, если N ф 1.
(d) Таким образом, соотношения (3.2.21) не имеют решений при недиагонализуемой матрице а. Если матрица а диагонали-зуема, то решение является абелевым.
8. Рассмотрим уравнение
+ 2 _
и Ux Uxxx = Uxx.
(a) Покажите, что это уравнение имеет ограниченные на всей оси —оо < X < оо стационарные решения (и = f(x— et)), но среди них нет периодических решений. Опишите апериодическое решение.
(b) Более тонкий вопрос состоит в следующем. Существуют ли ограниченные неосциллирующие стационарные решения?
(c) Коронес и Теста [122] показали, что это уравнение имеет неабелев псевдопотенциал. Они не проверили, приводит ли этот псевдопотенциал к ПБ или к задаче рассеяния, взаимодействуют ли решения из п. а) как солитоны и можно ли эту задачу точно решить. Имеет ли это уравнение псевдопотенциал?
Раздел 3.3
1. Исследовать сдвиги фаз солитонов в двухсолитонном решении уравнения мКдФ. То же самое для уравнения sin-Гордон и нелинейного уравнения Шрёдингера.
2. Воспользовавшись преобразованием Бэклунда в билинейной форме (3.3.72), вычислить двухсолитонное решение (3.3.76), отправляясь от односолитонного решения (3.3.74).
3. Воспользовавшись формулой суперпозиции солитонов и солитонными решениями с небольшим числом солитонов, вычислить константу С в (3.3.86).
4. Воспользовавшись (3.3.87), вычислить собственную функцию по первым двум солитонным решениям. Упражнения
303
Раздел 3.4
1. Покажите, что (3.4.25) вместе с уравнением КдФ (3.4.1) либо вместе с вырожденным ПБ (3.4.26) даст одинаковые рациональные решения.
2. Чем отличаются автомодельные рациональные решения уравнения КдФ, т. е. и = (3t)~2/3w(г), z = х/(3і)1/3, от всего класса рациональных решений уравнения КдФ?
3. Получите следующее рациональное решение уравнения Буссинеска (3.4.34) (отвечающее F3) и уравнение мКдФ (3.4.43) с ненулевыми асимптотиками (отвечающее F3, G3).
