Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
') Уравнение, о котором идет речь в этом упражнении, в качестве кандидата в интегрируемые системы впервые повилось в работе Жибера и Ша-бата (1979) [1*]. В этой работе была впервые решена задача о классификации уравнений заданного вида, точнее uxt = F(u), обладающих симметрией достаточно высокого порядка, причем никаких вспомогательных гипотез при этом сделано не было. Под непосредственным влиянием работы [1*] возникла работа [14], в которой была найдена необходимая для применения МОЗР задача рассеяния и получена рекуррентная формула для бесконечной последовательности законов сохранения. МОЗР для этого уравнения был развит в работе [374], там же было показано, что нетривиальных локальных законов сохранения существует бесконечно много. Следует отметить, что еще раньше это уравнение было выписано в работе Булоу и Додда [16*], где оно фигурировало в качестве примера уравнения, не имеющего локальных законов сохранения, а следовательно, и симметрий с порядком большим 11 (теорема 9). Но ошибки в доказательстве своей теоремы авторы пока не обнаружили (см. [79], стр. 159—160). — Прим. перев. 306
3. Различные перспективы
описывают эволюцию длинных волн, распространяющихся в обоих направлениях (см., например, Уизем [505]). Найдите стационарное решение и исключите и. Покажите, что полученное ОДУ на h не является уравнением Р-типа,
11. Рассмотрите уравнение
"Pt + <Рхх — 4>уу — 2I Ф 12<Р = О,
описывающее эволюцию волновых пакетов на поверхности глубокого водоема без учета поверхностного натяжения (см. разд. 4.3). Покажите, что у этого уравнения имеется точная редукция к уравнению (3.7.26). Можно ли к нему применить МОЗР?
12. Уравнение Кадомцева — Петвиашвили
(ut + Quux + иххх)х + 3 оиуу = 0, о=± 1,
интегрируется с помощью МОЗР. Покажите, что:
(a) не зависящие от у решения удовлетворяют уравнению КдФ;
(b) решения типа бегущей волны и(х — et, у) удовлетворяют уравнению Буссинеска;
(c) при C = O оно дает стационарное решение (стоячие волны);
(d) автомодельной переменной является
z = (3t)~m х -f- о (3t)~4'3 у2.
Покажите, что полученное при этом ОДУ для функции F(г) один раз можно проинтегрировать. Умножьте уравнение на F и покажите, что F2 удовлетворяет уравнению Pn [429];
(e) «модифицированное уравнение К—П»
(Ot _ Qv^vx + vxxx)x + OVyg = О
можно рассматривать как (2+1)-мерный аналог уравнения мКдФ (см. разд. 4.1), Какому ОДУ подчиняется автомодельное, не зависящее от времени решение этого уравнения? Покажите, что это ОДУ не является уравнением Р-типа.
13. Здесь мы покажем, что тривиальную формулировку свойства Пенлеве, предложенную в работе [22], следует модицифи-цировать. Уравнение Бенджамина — Оно
Ut + иих + H (ихх) = О
(Н — преобразование Гильберта) является, по-видимому, интегрируемым при помощи МОЗР (см. разд. 3.5, 4.1). В разд. 3.5 при построении рациональных решений обсуждалась точная редукция этого уравнения к системе ОДУ. Мы получили систему Упражнения 307
уравнений Калоджеро — Мозера и, в частности, „о 2 2
X, = — ¦
-Ч — (Xi-X2)3 • Л2 (X1-X2)3'
Мы могли бы смотреть на эти ОДУ как на нелинейные эволюционные уравнения, интегрируемые с помощью МОЗР. Но решение системы Калоджеро — Мозера не связано с каким-либо линейным интегральным уравнением типа (3.7.5а).
(a) Покажите, что эта система ОДУ допускает подвижные алгебраические точки ветвления, т. е. при ttu
Хі~(-\г{і-ійг, X2-Гц-Qm.
(b) Получите указанный результат, воспользовавшись общим решением этой системы ОДУ, приведенной в разд. 3.5. Это демонстрирует важность точных редукций в ОДУ в переменных, присущих линейному интегральному уравнению.
(c) Возникшая ситуация вовсе не связана с тем, что уравнение Б—О не является дифференциальным в частных производных. Покажите, что система (3.5.36), полученная при изучении рациональных решений уравнения КдФ, также допускает подвижные алгебраические точки ветвления.
(d) Еще проще редукцию (3.7.1а) к (3.7.1с) можно получить, положив
и {х, l) = g (і) f (z), z = .
При этом ОДУ для f(z) совпадает с (3.7.1с) и является уравнением Р-типа. Покажите, что ОДУ для g(t) не является уравнением Р-типа. Еще раз подчеркнем, что (t) не играет никакой роли в линейном интегральном уравнении.
(e) Тем не менее следует отметить, что в обоих обсуждавшихся случаях соответствующие уравнения могут быть преобразованы к ОДУ Р-типа. Возможность таких преобразований следует учесть в формулировке гипотезы о свойстве Пенлеве.
Раздел 3.8
1. (а) Покажите, что если мы положим г/ = thг](0 — 0(О)), то (3.8.10) можно переписать в виде
L^ = ^ (1 -Ihir ^ + (12 - T=F) ^ = Pil)>
где
Г Зг) 1 + г/ Зг| 1 — У дТ
(Ь) Учитывая, что Lv = 0 является уравнением Лежандра, покажите, что v = Р\(у) = 15у(1 — у2) является единственным 308 3. Различные перспективы
подходящим решением. Затем, воспользовавшись методом вариации постоянной, т. е. представив
Є)(у) = А(у)РІ(у),
получите уравнение для В (у) = dA/dy.
dy 1 у (1-у2)
п = 2^ 1 - у і 2V 1 in 1 + У і 2 а8(0> 1
