Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
— OO
лучим
(3.8.19) А (0 = 0.
Оказывается, что длина полочки имеет порядок О (е-1) для t ~ ~ О (е-1). При этих временах порядки первого и второго членов в A(Z) совпадают. На самой начальной стадии задача является нестационарной, но нестационарная часть волны быстро движется к хвосту солитона. Для времен t ~ О (є-1) решение в области 10 I <С О (е-1/2) является квазистационарным, и там bq = 6*7(0, Т). Поэтому для определения уравнения, которому подчиняется параметр 0(О), потребуем выполнения следующего дополнительного условия:
OO OO
(3.8.20) J <f»(0)<7<»(0)d0 + y J (oqfdx^O.
-OO —OO
Условие (3.8.20) дает <58(0>
(3.8.21) ^ff- =-^-^- S (6qfdx.
Отметим, что в интервале времени 0(1) <С^<0(є-!) вторым членом в (3.8.21) (т. е. ^ (6qfdx в А(0) можно пренебречь.
В этом интервале времен формула (3.8.21) согласуется с результатами работы [255]. Для того чтобы пользоваться формулами (3.8.20), (3.8.21), нужно знать bq при — 0 < О (є"1'2).
В области I 0 I <С О (є~1/2) решение является квазистационарным, но вне ее оно существенно зависит от X и t. Для времен t порядка О (е-1), т. е. в области О (е~1/2)< (— х) < оо, за соли-тоном, разложение является неравномерным из-за наличия полочки. Решение уравнения (3.8.6) в этой области аппроксимируется, как показано в работе [278], решением q уравнения
(3.8.22) qt + qxxx = - eYq
с граничными условиями
I т
! - t4ft при х -S- ( w (Г) dT',
(3.8.23) q(^t)->{ 31I ^ 8O5
[ 0 при Х->— 09,
ю* 292
3. Различные перспективы
С учетом этих граничных условий (с подвижной границей) получим решение уравнения (3.8.22)
.Ta(ex) . г
(3.8.24) Cj (х, і) = — зе; exp^ \ Y dT'j ^ Ai (у) dy,
где Ai (z) — функция Эйри, z = x/(3t)m и T0 (гх) определяется
ST
°4y\(T')dT/. Отметим, что да
о
в (3.8.20), (3.8.21) можно заменить на q.
В области 0 0(е~1/2), т. е. перед солитоном, разложение также является неравномерным. В ней из-за экспоненциальной малости решения снова применимо уравнение (3.8.22). Решение q можно получить, воспользовавшись методом ВКБ:
^8т)2ехр(ф(Уе' Г)), 0^0(8-1'2),
(3.8.25) срт - 4т]2фу + фЗ = О,
Y = є (0 - 0О), T = et.
Таким образом, «равномерное» приближенное решение имеет вид
( q, -0>О(е-"2),
(3.8.26) q (х, t) = \ > (0, Т) + (0, Т), | 0 | < О (є"1'2),
I <7, 0 > О (є-1/2).
Мы не будем здесь углубляться в детали, но отметим, что поучительно проанализировать законы сохранения. С их помощью можно проверить полученную формулу, но, кроме этого, законы сохранения могут служить отправным пунктом для анализа. При этом следует проявлять предельную осторожность, но если все сделать правильно, то можно воспроизвести все полученные результаты. (См., например, [414] (отметим, что результаты этой работы следует модифицировать из-за наличия полочки), [267], [278].) Другой пример — диссипативное возмущение нелинейного уравнения Шрёдингера — приведен в упражнениях.
3.8.Ь. Сильно нелинейное уравнение КдФ с затуханием. Теперь мы кратко рассмотрим диссипативные возмущения сильно нелинейных неинтегрируемых уравнений КдФ и Шрёдингера. При достаточно сильной нелинейности мы обнаружим, что теория возмущений указывает на возможность коллапса возмущенной волны, приводящего к образованию сингулярностей, таких, как в сильнонелинейном уравнении Шрёдингера (Захаров и Сынах (1976) [549]), 3.8. Возмущение и устойчивость солитонов 293
Рассмотрим сильно нелинейное уравнение
(3.8.27) qt + Aqp qx + qxxx = — eyq,
невозмущенное солитонное решение которого можно представить в виде
(3.8.28) ,Г = asech2" T1(G-G0)1 Ц-=1, "fr=-4,
где а определяется из соотношения Aap = 2(р + 1) (р + 2)т}2/р2. В предположении квазистационарности возмущенного решения имеем
(3 8 29) —4 -J5-^0+ ^Oe +=
F{q) = — yq — qT.
В порядке є получим
Lq^ ^ - 4 І «?<» + А ((,?<Т <?<% + <7<>>0 = F<» (фо)),
(3.8.30) ( Fi•>(*«») = _ Y^(O)$<« + (G — G(O)) q[о>} +
Воспользуемся тем, что ?л<7(0) = 0. При этом условие совместимости
OO
(3.8.31) J <7<о>яі) (<?(0)) ^6 = О
— OO
приводит к
(3.8.32)
Из (3.8.30), (3.8.32) следует наличие полочки, так как
OO
(3.8.33) <?»>->- wfi-p) S<?<O)d0 nPfl G-> — оо.
— OO
Этот результат (полученный понижением порядка в уравнении (3.8.30)) согласуется при р= Ic (3.8.15). Равномерное приближение (при р <. 4) может быть получено уже описанным методом. Из (3.8.32) видно, что теория возмущений перестает быть справедливой при р = 4. Это означает, что гипотеза квазистационарности несправедлива при такой нелинейности. Другими словами, возмущение не является адиабатическим. При р ^ 4 это может означать, что уравнение допускает коллапсирующие сингулярности. В рассматриваемой задаче мы не доказали существования этих сингулярностей, но мы покажем, что они воз- 294 3. Различные перспективы
пикают в аналогичной задаче для «сильно нелинейного» уравнения Шрёдингера.
Рассмотрим уравнение
(3.8.34) iqt + qxx + A\qfpq=-Uvqt р>2,
имеющее невозмущенное решение в виде уединенной волны
