Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
0,06 0,04 0,02 о 0,06 0,04 0,02 о 0,06 0,04 0,02 о 0,06 0,04 0,02 о
б -
I 2 3
-20 0 20 40 60 80 100 120 140 160 160
tlg/h І І -x/h = -г
Рис. 4.3. Эволюция длинной положительной волны на поверхности воды в три солитона КдФ; h = 5 см. Сплошная линия соответствует измеренному профилю, пунктирная — вычисленному с использованием (4.1.19) профилю солитона: (a) x/h = 0; (б) x/h — 20; (е) x/h = 180; (г) x/h = 400. (Хаммак и Сигур [196].)
ложительным более или менее неизменным волнам, наблюдаемым в точках x/h = = 180 и x/h = 400. Согласно (4.1.19), все эти волны на рисунках должны смещаться влево, так как все их скорости превышают л/gh. То, что этот эффект в эксперименте не наблюдается, свидетельствует о влиянии вязкости.
И все-таки, основываясь на наблюдении формы волн, мы утверждаем, что они являются солитонами. Профиль солитона определяется из (4.1.14) после того, как известна его амплитуда. Были измерены пики амплитуд первых двух волн на рис. 4.2 и отмечены точками результаты вычислений (на основе этих измерений) по формуле (4.1.19). Соответствие с измеренными профилями волн является поразительным.
Результаты, приведенные на рис. 4.2, раскрывают
следующую картину длинных волн умеренной амплитуды на воде.
(I) Существует быстрый (линейный) масштаб времени, в течение которого волны, бегущие вправо и влево, отделяются друг от друга.
(II) Существует более медленный масштаб времени, в течение которого волна, бегущая вправо (влево), трансформируется а солитоны плюс излучение.
(III) Существует еще более медленный масштаб характерного времени вязкости, в течение которого энергия солитона понемногу диссипирует (теряется). Однако ввиду того, что харак- 4.1. КдФ и родственные уравнения
326
терное время для уравнения КдФ короче, солитоны непрерывно «подправляют» свою форму и скорость в соответствии с энергетическими потерями, так что локально они выглядят и ведут себя подобно солитонам.
Заметим, что на рис. 4.2, в, г средний уровень поверхности воды осцилляторных волн является положительным. Вспомним (см. разд. 1.7), что средний уровень осцилляторных волн, удовлетворяющих уравнению КдФ на больших временах, является отрицательным (см. (1.7.51)). Несоответствие обусловлено влиянием вязкости и может быть объяснено следующим образом. Солитоны медленно теряют энергию вследствие вязкости, однако полная масса волны не изменяется. Поэтому когда масса «вытесняется» из солитона, она образует «полку», располагающуюся сзади него, которая увеличивает средний уровень воды. Это является аналогом полки, обсуждавшейся в разд. 3.8.
В этой серии было также сделано несколько других экспериментов с участием солитонов. В некоторых экспериментах начальные амплитуды волн были очень малы, и солитоны не наблюдались даже при x/h = 400. В каждом эксперименте, когда явно прослеживалось число солитонов в точке x/h = 400, оно находилось в соответствии с числом солитонов, предсказанным по начальному условию из эксперимента. Начальное условие играло роль потенциала в задаче на собственные значения для оператора Шрёдингера. Амплитуда первого солитона при x/h = 400 также с достаточной точностью совпала с предсказанной амплитудой, которая была вычислена в два этапа: 1) амплитуда (без учета вязкости) определялась путем решения задачи на собственные значения; 2) на основе формулы из работы [275] для определения вязкого затухания уединенной волны с такой амплитудой, прошедшей расстояние в 400 раз большее, чем глубина бассейна. С деталями можно ознакомиться в работе Хам-мака и Сигура [196]. На рис. 4.3 приведена картина, соответствующая в точности противоположному по сравнению с рис. 4.2 движению поршня. Если бы волна эволюционировала линейно, каждая картина, изображенная на рис. 4.3, была бы противоположна изображенной на 4.2. Это приблизительно соответствует наблюдениям в первых двух отметках, которые осуществлялись на коротком масштабе времени, где справедливо линейное приближение. Однако на большем временном масштабе результаты измерений совсем другие. Первоначально отрицательная волна не может произвести ни одного солитона; вся ее энергия должна перейти в непрерывный спектр. Рис. 4.3 дает наглядный пример решения уравнения КдФ, соответствующего непрерывному излучению.
Более тщательный анализ соответствия следствий из модели КдФ такому излучению может быть сделан с помощью рис. 4.4, 326
4. Приложение
на котором изображена волна большей амплитуды в случае несколько большей глубины. Напомним (разд. 1.7), что асимптотическое решение уравнения (4.1.1) в отсутствие солитонов состоит из четырех областей.
о
-0.02 -0.04 -0.06 .0
-0.02 5 -0,04 * -0,06 ї • О
'-тог -0,0+ -0,06
-U04 -0Л6 -
"1—I—і—і—і—і—I—I-Jt-
—і—і_і_і і
|1 ЛДуО...!_1—1_' '
. г
.jiyyt ..I. .J., I
-0,02 • \Г''
чии - ^
2U 0 20 40 60 80 100120 Н0160 180 ttg/hft-x/h'-r
Рис. 4.3. Эволюция длинной отрицательной волны на поверхности воды в пакет осцилля-торных волн без солитонов; h — 5 см. Непрерывная линия соответствует измеренному профилю: (a) x/h = 0; (б) x/h = = 20; (в) x/h = 180; (г) x/h = = 400 (Хаммак и Сигур [196].)
