Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
В порядке 0(k)
L0^O = - Q«Vp«» = Lyi) = Qdyo) = Я/'.
Покажите, что имеется решение
-Iq^ A-qf,
d) Покажите, что условия совместимости удовлетворяются автоматически при л = 1. А в порядке 0(k2) мы имеем
L0I|)<2) = — QfV0 — а^(0) — PJ1V1* = F{2),
Lfli 2) = Q(2)i|j(0) — аф<°) + й(|)-ф(1> = FfK
Покажите, что теперь условия совместимости дают
OO OO
Ct J ^Oty(O)rfjc+ Q(I) J^(O)rfx = O1 Упражнения
ИЛИ
Q(D2 = 4^2a,
И
OO OO
a J qf^dx-U^ J qf^ dx
-OO -OO
или
Последнее согласуется с результатами упр. 3. Глава 4. Приложения
В этой главе мы рассмотрим некоторые вполне интегрируемые уравнения в качестве моделей конкретных явлений. Уравнения, представляющие физические модели, могут обслуживать сразу-много различных физических ситуаций, так как в основу их вывода положены сходные предположения. В каждом случае мы остановимся главным образом на двух-трех физических задачах для того, чтобы продемонстрировать «типичный способ» вывода этих уравнений. Другие задачи могут быть рассмотрены аналогичным образом. При таком подходе из нашего поля зрения выпадают некоторые важные примеры, однако в данной книге невозможно дать исчерпывающий обзор нелинейных явлений. Другие приложения обсуждаются в работах [254], [511], [344] и [510].
В большинстве случаев вывод уравнений осуществляется более или менее стандартно, путем исследования относительно малых отклонений физической системы от ее равновесного состояния. В главном порядке это означает просто линеаризацию задачи около равновесного состояния. Затем делается попытка построить асимптотическое разложение; при этом в следующих порядках обычно возникают секулярные члены. Для того чтобы исключить секулярные члены с целью расширить область применимости разложения, используют метод многих времен (например, Коул (1968) [115]). Таким образом, наиболее общей чертой нелинейных эволюционных уравнений является то, что они возникают в результате исключения секулярных членов в формальном асимптотическом разложении.
Тот факт, что эти уравнения играют именно такую роль, приводит к некоторым следствиям, полезным для установления связи между теорией солитонов и физическими явлениями.
(і) Эволюционные уравнения являются нелинейными, и их решения необязательно малы. Несмотря на это, решения, имеющие первый порядок, в физической задаче соответствуют относительно малым отклонениям от равновесного состояния.
(H) Преимущество нелинейных эволюционных уравнений состоит не в том, что они позволяют изучать большие отклонения от равновесного состояния, а скорее в том, что появилась возможность исследования малых отклонений в течение длительного времени. 4. Приложение
315
(iii)Нелинейные эволюционные уравнения охватывают следующий по сравнению с линейными задачами временной масштаб. При интерпретации наблюдений физических явлений не имеет смысла говорить о солитонах, если время наблюдения не превышает характерного времени, соответствующего линейной задаче.
(iv) В поведении решений вполне интегрируемых уравнений не проявляется стохастичность. Однако аналогичный вывод о физической системе справедлив лишь для относительно малых отклонений от равновесия и для соответствующих характерных временных масштабов. Стохастичность может иметь место для больших отклонений от равновесия и на больших временах.
Прежде чем мы обсудим конкретные примеры, уместно привести еще один комментарий общего характера. Мир, в котором мы живем, имеет 3 (пространственных) + 1 (временную) размерности, в то время как изучаемые нами уравнения являются (1 + 1)-мерными. В каком смысле эти уравнения могут моделировать физические явления?
В зависимости от конкретной проблемы можно убедиться, что линеаризованная задача допускает распространение волн в (1 + 1) или (3+1) измерениях. В первом случае трудностей не существует; нелинейные эволюционные уравнения описывают явления, которые по сути своей (1 + 1)-мерны. В двух других случаях эти уравнения возникают только после того, как они сведены от размерностей (2+ 1) или (3+1) к размерности (1 + + 1). Тогда возможны две интерпретации.
(I) Уравнение размерности (1 + 1) является (нетривиальной) модельной задачей, решение которой позволяет понять суть явлений, имеющих место в задачах с большими размерностями. Однако сравнение решений уравнения непосредственно с физическими наблюдениями не является целью данной работы.
(II) Уравнения размерности (1+ 1) имеют непосредственный физический смысл. Существуют реальные условия, когда решение задачи большей размерности, по крайней мере приблизительно, может эволюционировать таким образом. Это возможно только в том случае, если (1 + 1)-мерные решения устойчивы относительно возмущений по остальным измерениям. В противном случае такая эволюция в низшей размерности теоретически возможна, но практически неправдоподобна.
Ниже мы обсудим все такие случаи, имеющие место в приложениях.
4.1. КдФ и родственные уравнения. Исходной моделью слу* жит уравнение Кортевега — де Фриза
(4.1.1)
