Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 -r=t(g/h)l-x/h
Рис. 4.4. Эволюция длинной отрицательной волны в совокупность осцилляторных волн с явно выраженными волновыми группами. Начальная амплитуда больше, чем на рис. 4.3; h = 10 см. Сплошная линия — измеренные профили, стрелки — траектории волновых групп, построенные при помощи усреднения измеренной частоты волн и линеаризованного дисперсионого соотношения (4.1.8): (a) x/h = 0; (б) x/h= = 50; (в) x/h = 100; (г) x/h = = 150; (d) x/h = 200. (Хам-мак и Сигур [197].)
(i) Для х (3/)1,э решение экспоненциально мало.
(ii) Для I х О ((3t)m)решение является примерно автомодельным и аппроксимирует частное решение
+
и б* 4.1. КдФ и родственные уравнения 327
(Iii) Вблизи —л: > 10 ((3/) 1^3 (log 302/3+р], 1»р»0, существует относительно тонкий слой, соответствующий бесстолкновительной ударной волне.
(iv) При (—х)» (3/)1/3(log3/)2/3+p решение состоит из убывающих осцилляций. Эти осцилляции преобразуются в группы волн, узлы которых определяются нулями коэффициента отражения р(й).
Волновые числа каждого пакета, который движется с групповой скоростью соответствующей линеаризованной задачи, фиксированы. Скорость определяется преобладающим волновым числом в группе.
Это описание находится в качественном согласии с экспериментальными результатами, приведенными на рис. 4.4. Количественное сравнение для областей (і) и (іі) приведено на рис. 4.5, где лидирующая часть волны, изображенная на рис. 4.4,(5, сравнивается с асимптотическим решением уравнения КдФ, вычисленным в соответствующий момент времени. Для сравнения также вычерчено асимптотическое решение линеаризованной задачи (П.1.49) с теми же самыми начальными условиями. В этом эксперименте совпадение теоретической кривой с результатами измерений лидирующей волны удивительно точное. Более того, очевидно, что соответствие улучшается, если учесть вязкость жидкости (Хаммак и Сигур (1978) [197]).
В этом эксперименте предсказание теории КдФ для осцилля-торной области не столь точно в основном потому, что волны, генерируемые в этой области, не являются длинными в смысле нашего основного предположения (В), с. 278. Другими словами, начальное условие вначале состоит из длинных волн, но длинные волны порождают короткие волны, и уравнение КдФ не очень хорошо моделирует их эволюцию. И все-таки качественная картина является правильной. Волновые группы ясно видны на рис. 4.46, в, г, и тщательный анализ показывает, что преобладающие волновые числа существенно не изменяются при эво-
-г
Рис. 4.5. Теоретический и экспериментальный профили волнового фронта при x/h = 200 (рис. 4.4, случай (д)). Сплошная линия — измеренный профиль; штриховая — линейная асимптотическая теория (П. 1.58); пунктирная — асимптотическая теория КдФ (1.7.41—45). (Хам-мак и Сигур [197].) 328
4. Приложение
0.2 0.1 0
0.2 0.1 о
0.2 0.1 О
0,2 0.1
0 2 4 6 810 14- 16
x/h = О ЛГ=4
А
Ч—1—I—ь
x/h= 20
XL
У x/h-Ш
к
x/h=m
Ч-1-H-
Абижение дна
О 2 4 6 В10 14 18
T ! 'і I X/h =O N =
JX
x/h =20
er/А = 180
ч—1-
1234-
х/Л=400
4бижение дна
6 810 14 18
А
а://) = 20 Л/-4
'г3 зс//і = 180
¦Ulli' 'Ii і
1234
H
320 360 400 ас/Л = 400
-+-н—і—ь
-40 О 40 80 120 16O 200 - 40 o 40 Si) I2O 160 200 - 40 О 40 60 1^0 160 200 240 t/g/h)i-x/h = - г
Рис. 4.6. Три случая движения поршня: графики движений и волны на воде, которые они порождают; H= 5 см. Случай (а) — монотонное движение, (б) и (в) — монотонное движение с наложением осцилляций. N — число дискретных собственных значений, полученных в каждом из экспериментов с использованием измеренных волновых профилей при x/h = ob задаче рассеяния (1.3.33). (Хаммак и Сигур [196].)
люции волн. Более того, траектории, изображенные на рис. 4.4, которые, очевидно, совпадают с наблюдаемыми траекториями волновых групп, были получены вычислением линеаризованной групповой скорости (4.1.8) при измеренных частотах волн.
То, что реальные начальные условия для (4.1.5—7) обычно содержат некоторые высокочастотные волны, поднимает вопрос о том, не ведет ли наличие этих коротких волн к несостоятельности модели КдФ. Другими словами, если эволюция длинных волн обусловлена главным образом наличием коротких волн и если модель КдФ правомерна только тогда, когда короткие волны отсутствуют, то уравнение КдФ не будет адекватной моделью (4.1.5—7). Результаты серии экспериментов, выполненных для проверки такой возможности, изображены на рис. 4.6. В трех независимых экспериментах (на рисунке каждому соответствует вертикальный столбец) поршень одинаковым образом смещался 4.1. КдФ и родственные уравнения
329
вверх, но с возрастающей долей высокочастотных колебаний. Первый эксперимент был качественно подобен изображенному на рис. 4.2: начальное возмущение примерно имело вид поршня и распалось на четыре отдельных солитона. Два других эксперимента на ранней стадии выглядят по-другому, так как еще не разделены короткие и длинные волны. Однако поверхностные волны малой амплитуды являются существенно дисперсионными (см. (4.1.8)), и при x/h = 180 (т. е. в масштабе времени КдФ) длинные и короткие волны физически разделены. Солитоны, которые появляются при наблюдениях в точке x/h = 400, не отличаются от зафиксированных в предыдущих экспериментах.
