Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
4. Приложение
На обе жидкости действует вертикальная сила тяжести. Мы пренебрежем поверхностным натяжением как на поверхности раздела, так и на свободной поверхности. Пренебрежем также и вращением Земли (см. [185]). Если предположить, что движение каждой жидкости является безвихревым, то существуют потенциалы скоростей (фі' ф2), которые удовлетворяют в соответствующих областях уравнению Лапласа. Граничные условия ставятся следующим образом: на дне (г = —H) вертикальная скорость
h,
fit
А
////////У//
Рис. 4.8. Двухслойная модель. Поверхностные волны имеют максимальную амплитуду на свободной поверхности, внутренние волны — на поверхности раздела.
должна обращаться в нуль; на поверхности раздела (г = —Ai+ + г)(д:, у, t)) вертикальная скорость и давление меняются непрерывно; на свободной поверхности (г = ?,(х, у, t)) условия те же, что и в случае (4.1.7) с T = 0; при х2 + у2->-оо потребуем, чтобы (Уфі, Уфг, л) стремились к нулю. После того как задано начальное условие (при t = 0), можно ставить вопрос об эволюции Т)(х, у, t), ?(х, у, t), фі(*, у, Z, 0 и ф2(*, у, 2, t) для />0. Далее главным образом будет изучаться двумерное движение (д„ = 0).
Начнем с исследования линеаризованной задачи и поиска ее дисперсионного соотношения. Эти вопросы был рассмотрены Лэмбом [314, § 231]. Обозначим
(4.1.24) А = (Pi-PaVPa-
Следовательно,
(4.1.25) to4 [1 + (1 - A) th JfeA1 th JfeA2] - со2gk [th JfeA1 + th JfeA2] +
+ Ag2Jfe2 th AA1 th ZjA2 = O.
Представляют интерес следующие моменты: (і) Для каждого k (4.1.25) —это уравнение четвертого порядка относительно оз (fe), тогда как линеаризованное дисперсионное соотношение для поверхностных волн (4.1.8) является квадратичным 4.1. КдФ и родственные уравнения
333
(ІІ) (4.1.25) сводится к (4.1.8) при 7 = 0, если A = O, или Ii2 = 0, или h\ = 0, или A= 1 (заметим, что А ->¦ 1 можно интерпретировать либо как pi -> 0, либо как рг->- оо).
(iii) Для достаточно малых Д, сравнивая ? (свободная поверхность) и т] (поверхность раздела), можно видеть, что при фиксированных k большая (по величине) пара корней (4.1.25) соответствует двум волнам, максимальные амплитуды которых достигаются на свободной поверхности. Эти две моды называются поверхностными волнами; при А->0 они превращаются в волны на поверхности однородной жидкости.
(iv) Меньшая (по величине) пара корней (4.1.25) соответствует двум волнам, максимальные амплитуды которых реализуются на поверхности раздела, если А достаточно мало. Эти две моды называются внутренними волнами; они исчезают, когда Д = 0. В первую очередь нас будет интересовать эволюция внутренних волн на длительном отрезке времени.
(v) И для поверхностных, и для внутренних волн
co2 = 0(fc2) при khu kh2-> 0,
(4.1.26) > 0, -g-<0 для k>0, и2 = 0(|?|) при khu kh2->oо.
Отсюда следует, что длинные внутренние волны движутся быстрее остальных внутренних волн, но при этом существуют как более быстрые, так и более медленные поверхностные волны (в смысле групповой скорости).
Далее будем решать (4.1.25) в длинноволновом пределе. Однако, как отмечал Бенджамин [53] (см. также [133] и [314, § 231]), уравнение (4.1.25) имеет несколько предельных случаев, каждый из которых можно было бы назвать «пределом длинных волн». Все эти пределы имеют физический смысл.
(і) Если длина изучаемой волны больше, чем все вертикальные глубины, то khi, kh2, kH <С 1. В этом пределе (4.1.25) сводится к
(4.1.27) (?4 - gH (?2 -f g2Shyh2 = О (fc2)
и все четыре корня принимают вид
(4.1.28) со ~ Ck + ak3 для fctf« 1.
Этот случай аналогичен уже обсуждавшейся задаче о поверхностных волнах. Начальное возмущение малой амплитуды, состоящее только из длинных волн (в том смысле, что kH < 1), расщепляется на две поверхностные и две внутренние волны на коротком (линейном и бездисперсионном) масштабе времени 334
4. Приложение
(см. [314, § 231—234]). Если скорости всех четырех волн различны, то четыре волны пространственно разделяются за короткое время, и каждая взаимодействует лишь сама с собой на следующем (нелинейном и дисперсионном) временном масштабе.
Как будет показано ниже, основным уравнением на длительном временном масштабе является либо КдФ (4.1.1), либо мКдФ (4.1.2).
(и) Если h\ С h2, то изучаемые волны могут быть длинными по сравнению с толщиной слоя [kh\ < 1) и короткими по сравнению с полной глубиной {kH Э" 1). Этот «длинноволновый предел» часто имеет место в случае океанских волн. Например, летом глубина термоклина примерно равна 50—100 м, в то время как глубина океана может быть равна нескольким тысячам метров. Как детально обсуждал Бенджамин [53], в этом пределе уравнение (4.1.25) сводится к
Как и прежде, начальное возмущение малой амплитуды за короткое время распадается на четыре линейные волновые моды (две поверхностные и две внутренние). В следующем временном масштабе каждая из внутренних волн описывается уравнением Бенджамина — Оно (4.1.3) (см. также [409] и [29]). Напомним, что (4.1.3), по-видимому, решается применением некоторого варианта МОЗР, хотя общая теория до настоящего времени не завершена.
