Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Абловиц М. -> "Солитоны и метод обратной задачи" -> 99

Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.

Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи — М.: Мир, 1987. — 479 c.
Скачать (прямая ссылка): solitiimetodobratnoyzadachi1987.djvu
Предыдущая << 1 .. 93 94 95 96 97 98 < 99 > 100 101 102 103 104 105 .. 164 >> Следующая


и( + Quux + Uxxx = О, 316

4. Приложение

Однако изменение исходных упрощающих предпосылок приводит к появлению других интегрируемых моделей. Они включают в себя модифицированное уравнение КдФ

(4.1.2) щ + 6 аи2их + иххх = О,

уравнение Бенджамина — Оно

(4.1.3) ut + 2uux + H[uxx] = 0, где H — преобразование Гильберта

OO

H Г Л = — I ^ ^ dy Jt J у — X '

— оо

и уравнение Кадомцева — Петвиашвили

(4.1.4) (ut + 6 иих + оиххх)х + иуу = 0.

Каждое из них возникает как условие, необходимое для устранения секулярных членов формального асимптотического разложения по малой амплитуде. От уравнений, рассмотренных в разд. 4.2 и 4.3, их отличает то, что они появились в задачах, которые в главном порядке не обладают дисперсией. Поэтому низшим порядком аппроксимации является волновое уравнение

Фтт = с2Фхх>

которое обычно возникает в пределе длинных волн, но существуют и исключения.

Сущность вывода уравнений, который мы сейчас рассматриваем, была понята несколькими исследователями, включая Бенни (1966) [55], Гарднера и Cy (1969) [175], Карпмана (1975) [245]. Метод был формализован Таниути, Ваем и др. (например, (1968) [478]) и был назван ими упрощенным методом возмущений. Ряд приложений, помимо тех, которые здесь обсуждаются, может быть найден в работах, на которые ссылаются Карпман [245], Ядзима и Какутани [511], Махань [344] и Яд-зима и Исикава [510].

4.1.а. Волны на воде. Проблема длинных волн на воде берет начало с ранней экспериментальной работы Рассела (см. (1938) [438], (1844) [438]) и теорий Эйри (1845) [37]. Первоначальной целью Кортвега и де Фриза (1895) [291] было создание теории, альтернативной теории Эйри, которая бы точнее соответствовала наблюдениям Рассела. Обширное описание этого вопроса с несколько отличной от приводимой здесь точки зрения было дано Лэмбом (1932) [314], Стокером (1957) [466], Вехаусеном и Лейтоном (1960) [500], Уиземом (1974) [506] и Майлсом (1980) [378]. 4.1. КдФ и родственные уравнения

317

Классическая задач волн на воде заключается в определении безвихревого движения невязкой несжимаемой однородной жидкости с плотностью р под действием постоянной силы тяжести. Жидкость находится над горизонтальным непроницаемым дном, простирающимся бесконечно (Z= —/і), и имеет свободную поверхность z = t,(x, у, t), на которой действует сила поверхностного натяжения Т. Во многих приложениях сила поверхностного натяжения несущественна и может быть приравнена нулю. Мы сохраним ее, потому что для наших целей учет поверхностного натяжения в некоторых случаях важен.

Жидкость имеет потенциал скоростей <р, удовлетворяющий уравнению

(4.1.5) V2Cp = O, -h<z<t{x,y,t)

(безвихревое движение несжимаемой жидкости). Потенциал подчиняется граничным условиям на дне (г = —h)

(4.1.6) фг = 0 (дно непроницаемо) и на свободной поверхности (z = ?)

(4.1.7а) -Ц- =з It + + Фи?„ = Фг (кинематическое условие), (4.1.7b) + ^ + = у X

^ Ъхх (1 + Q + CwQ + й) - XxylxZy . ,

X---Л I Л , ?-з\з/2-— (динамическое условие).

(1 + Ix + Ц/І

Нужны также начальные и граничные условия по (х, у). Если рассматриваемые волны являются уединенными, то |Уф| и ? должны стремиться к нулю при (х2 + г/2)->- оо, В других задачах могут быть уместны периодические ПО X и у условия.

Мы можем линеаризовать (4.1.5—7) около состояния | V<p | = = 0, ? = 0 и искать решения линеаризованных уравнений, пропорциональные exp {i{kx + ту — о/)} (см., например, [314]). Результатом является линеаризованное дисперсионное соотношение

(4.1.8) со2 = (gn + х3Т) th (kh),

где к = k2 + tn2- (Эти следствия, вытекающие из линейной теории, обсуждаются в приложении.) Отсюда вычисляется групповая скорость и показывается, что имеется дисперсия для большинства волновых чисел, и только в окрестности % = 0 (т. е. для длинных волн) дисперсия является слабой. Это существенный момент при выводе уравнения КдФ (мы будем рассматривать только такие волны, для которых дисперсия в лннеаризо- 318

4. Приложение

ванной задаче мала). Во многих задачах это осуществляется при и = 0.

Для вывода уравнения КдФ мы предполагаем, что:

(A) Движение строго двумерно, т = 0.

(B) Характерный масштаб волны в направлении х много больше глубины:

(W< 1.

(C) Амплитуды волн малы:

е== ICJpx с J

(D) Две последние величины имеют одинаковый порядок:

(khf = О (є).

Замечание. При таких дополнительных предположениях (4.1.5—7) преобразуются к упрощенной модели, которая, как это станет ясно впоследствии, является уравнением (4.1.1). Модель является самосогласованной, если ее решения удовлетворяют перечисленным предположениям для t > 0, при условии что им удовлетворяло начальное условие. Тот факт, что модель выведена явно рациональным способом, еще не гарантирует ее самосогласованности или реалистичности.

Замечание. Предположение (А) можно ослабить. Необходимо только, чтобы волны были почти одномерными, или (m/k)2 -С 1. Мы можем заменить (А) условием

(*¦)'«•

и по-прежнему получим (4.1.1); однако если взамен мы предположим
Предыдущая << 1 .. 93 94 95 96 97 98 < 99 > 100 101 102 103 104 105 .. 164 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed