Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
На рис. 4.11 изображена горизонтальная картина линий тока, соответствующая одному солитону в системе координат, движущейся вместе с волной. Движение происходит в однородной атмосфере и, как предполагалось выше, в неоднородном зональном потоке. Форма завихрения очень похожа на Большое красное пятно, изображенное на рис. 4.10. Область над вихрем на рис. 4.11 можно сопоставить «дырке», которая находится севернее пятна. Однако, повторяем, это сравнение в настоящее время следует рассматривать как гипотетическое.
Если солитонная модель Большого красного пятна и «дырки» адекватна, то их комбинация должна взаимодействовать с другими волнами, подобно солитону. Максуорси и Редекопп [356] заметили, что в Южном полушарии существовало другое большое возмущение, известное как южное тропическое возмущение, появившееся в начале нынешнего века и сохранявшееся несколько десятилетий. Эти два объекта имели разные скорости и за 4.2. Трехволновые взаимодействия
341
время существования южного тропического возмущения проходили друг через друга девять раз. Одно из взаимодействий детально описал Пик [418]:
«За шесть недель, необходимых для прохождения граничной точки р южного тропического возмущения от одного конца «дырки» до другого... не наблюдалось никаких признаков взаимопроникновения; вместо этого в течение нескольких дней после прибытия граничной точки р возмущения в точку f «дырки» на противоположном краю дырки... стал возникать образ р-края возмущения... Это новое образование впоследствии оказалось истинным /j-краем возмущения, которое удалялось от Красного пятна примерно с той же скоростью (с которой оно к нему ранее приближалось). Таким образом, вместо трех месяцев, необходимых для взаимного прохождения при нормальном положении вещей, процесс взаимодействия завершился за четырнадцать дней».
Максуорси и Редекопп [356] интерпретируют это взаимопрохождение как взаимодействие двух солитонов с соответствующим фазовым сдвигом. Более детальный анализ приведен в работе [357].
Для простоты изложения мы опустили некоторые важные аспекты проблемы. Один из них состоит в том, что амплитуда Большого красного пятна не мала, т. е. є = O(I) в (4.1.33), поэтому е-разложение, использованное выше, является чисто формальным. Следующий аспект заключается в том, что любая реалистичная модель Красного пятна должна включать некий механизм отбора энергии из неравновесного зонального течения со скоростью, достаточной для компенсации диссипативных потерь. Это обусловлено длительным существованием Красного пятна. Обсуждение подробного круга вопросов можно найти в работах [356], [428], [430] и [357].
4.2. Трехволновые взаимодействия. Резонансное взаимодействие трех волн, по-видимому, является простейшим нелинейным взаимодействием, линейный предел которого учитывает дисперсию. Обычно соответствующие уравнения возникают при изучении дисперсионных систем в слабо нелинейном пределе и должны иметь две характерные особенности.
(і) В низшем порядке разложения по малой амплитуде определяется линеаризованное дисперсионное соотношение со (к). Оно должно допускать существование резонансной триады, т. е. трех линейных волн, удовлетворяющих резонансному соотношению
(4.2.1) k, + k2 + k3 = 0, ?0, + 0)2 + (0, = 0.
(В этом разделе мы предположим, что со (к) =.—со(—к), иначе (4.2.1) будет неполной.) 342
4. Приложение
(ii) В следующем порядке разложения могут появиться квадратичные взаимодействия. Поэтому если медленно меняющиеся амплитуды этих трех волн не удовлетворяют уравнениям
г, ^ d^ + (С • 1V)ai = iYi?3, дха2 + (C2 -^)а2 = іу&цц], (4.2.2)
дга3 + (С • у) «з = іузаіаі'
то могут возникнуть секулярные члены. Здесь Cj — линеаризованные групповые скорости, вычисленные при к/. Если исходная система консервативна, то Yi, Уз вещественны и Y1Y2Y3 =? 0.
На общую природу таких уравнений прямо указали (наряду с другими авторами) Бенни и Ньюэлл (1967) [58], хотя частные случаи были известны и ранее. Некоторые ситуации, в которых возникают резонансные триады, можно найти в работах [132], [259] и [421].
Большое внимание привлек частный случай (4.2.2), в котором комплексные амплитуды волн зависят только от одной независимой переменной. Ему соответствует немодулированный, однородный цуг волн, и эволюционные уравнения (4.2.2) сводятся к виду
(4.2.2') aj == z"Yia2a3' a2~ JY2a3ai' S = iY3aIa2'
где ai = dtui или ai = CidxCii. Так же как и (4.2.2), уравнения
(4.2.2) могут быть решены точно при помощи МОЗР в эллиптических функциях [47], [77].
4.2. а. Нелинейная оптика. Идеальный диэлектрик можно рассматривать как вещество, в молекулах которого электроны прочно связаны с ядрами. Воздействие электрического поля на такую среду не вызывает электрического тока, но приводит к некоторому смещению каждого связанного электрона. Макроскопический эффект суммирования всех смещений в единице объема называется поляризацией Р.
Соотношение между поляризацией и электрическим полем является одним из фундаментальных соотношений, которые характеризуют вещество. В простейшем случае это соотношене является линейным,
