Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
(iii) Другая возможность состоит в том, что kh\ «с 1, kH = = 0(1). В этом случае «длинноволнового предела» Джозеф [246] и Кубота, Коул и Доббс [301] получили уравнение (3.5.39) как промежуточное между (4.1.1) и (4.1.3). Оно содержит произвольный параметр (который в действительности равен kH) и сводится к (4.1.1), если ?#->-0, и к (4.1.3), если kH->¦ оо. Уравнение (3.5.39) также решается точно (см. разд. 3.5).
Вернемся к случаю kH <С 1. Для простоты потребуем, чтобы А< 1 (в океане обычно А < 0,02). Из (4.1.27) для скорости длинной волны вытекает соотношение
®2 = g| k I (короткие поверхностные волны)
и
(4.1.29)
С2 = gH (поверхностные волны). C2 = (внутренние волны).
Ввиду того что А 1, эти скорости различаются. Следовательно, если внутреннее возмущение имеет конечную протяженность и 4.1. КдФ и родственные уравнения
335
состоит только из длинных волн, то поверхностные и внутренние волны разделяются на «линейном» масштабе времени.
Для того чтобы рассмотреть внутренние волны на следующем масштабе времени, определим
(4.1.30) T = If^)"2/, Х = Н^^г,,
6 \ Я / (A1A2)"2 2А,А2
где гіг — пространственное отклонение границы раздела, вызванное внутренней волновой модой, скорость которой равна C1.
Далее можно показать, что эта внутренняя волна эволюционирует согласно уравнению КдФ
(4.1.31) fx + 6//х + Zxxx = 0.
Ввиду того что солитон является существенно положительным решением (4.1.31), из (4.1.30) следует, что внутренний солитон всегда является волной, в которой тонкий слой утолщается. Таким образом, отклонения поверхности раздела направлены вниз, если тоньше верхний слой, и вверх, если тоньше нижний слой. Такие внутренние солитоны впервые обсуждались в работе [276].
Пример внутреннего солитона, который был образован в бассейне, использованном в экспериментах Хаммака и Сигура (рис. 4.1—4.6), приведен на рис. 4.9. В этом случае жидкость была стратифицирована по плотности. На рисунке изображены начальная внутренняя волна и результат ее эволюции. Как и на рис. 4.2, точками отмечена форма точного односолитонного решения, которое вычислено по максимуму измеренной амплитуды. Детали можно найти в работе (458). Аналогичные эксперименты выполнили Куп и Бутлер [289].
Чтобы непосредственно сравнить теоретические результаты с экспериментом, как и в случае поверхностных волн, необходим учет вязкостных потерь. Оказывается, что в случае длинных внутренних волн потери больше, чем в случае длинных поверхностных волн. Причина состоит в том, что дополнительно ко всем по-гранслоям, возникающим в поверхностных волнах, внутренние волны имеют погранслои на границе раздела, где сдвиговая скорость больше. Фактически этот дополнительный погранслой часто служит наиболее важной причиной энергетических потерь.
Обобщение теории Коулегана [275], которое позволяет учесть этот дополнительный погранслой, не представляет никаких принципиальных трудностей [324]. Эта обобщенная теория связана с моделью КдФ для невязкой жидкости и поэтому способна предсказать эволюцию длинноволновых внутренних солитонов [325].
Из (4.1.30) следует, что f обращается в нуль, если оба слоя имеют одинаковую глубину и разница их плотностей мала. При 336
4. Приложение
= 100
Рис. 4.9. Трансформация начального профиля длинной внутренней волны в два солитона. Сплошная линия обозначает результат измерений, пунктирная — соответствующее солитонное решение уравнения КдФ.
такой специальной конфигурации в задаче возникает симметрия, приводящая к исчезновению нелинейных членов. В этом случае изменение масштабов, неявно содержащееся в предположении (D), непригодно, и уравнение КдФ не является адекватной асимптотической моделью. Правильный масштаб в этом случае выбирается из условия
kh = О (в).
В этом случае асимптотическим уравнением служит уравнение мКдФ, которое определяет эволюцию волны для следующего масштаба времени (є2^ = 0(1)). Обычно уравнение мКдФ возникает в длинноволновом пределе, когда w (k) ~ C0k + ak3. Рассматриваемая задача обладает симметрией, обуславливающей динамическую неразличимость положительных и отрицательных волн, что имеет место в случае h\ = h2.
Можно упомянуть еще об одной дополнительной аномалии. Если соответствующее одномерное уравнение, обусловленное симметрией задачи, является уравнением мКдФ, то почти одномерные волны удовлетворяют не уравнению (4.1.4), а
(4.1.32) (ut -J- аи2их + buxxx)x + uvv = 0, 4.1. КдФ и родственные уравнения
337
где а, Ь являются константами. Как отмечалось в разд. 3.7, эти уравнения не обладают свойством Пенлеве. Вероятно, по этой причине отсутствуют все особенности (солитоны, законы сохранения, полная интегрируемость и т. д.), позволяющие выделить (4.1.32) в особый класс уравнений.
Наконец, отметим еще одну модификацию уравнений, определяющих эволюцию длинных внутренних волн умеренной амплитуды. Такие волны могут быть резонансно связаны с пакетом коротких поверхностных волн, групповая скорость которых соответствует скорости внутренних волн. В результате возникают не (4.1.1), (4.1.2) или (4.1.3), а система из двух нелинейных эволюционных уравнений [192], [138], [339], [340]. Из-за такого взаимодействия длинные внутренние волны иногда могут наблюдаться в виде резонансно возбужденных поверхностных волн. Наблюдения таких явлений приведены Филлипсом [421] и Осборном и Бэрчем [413].
