Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
Подведем итог. Уравнение КдФ является частью модели, описывающей эволюцию длинных двумерных волн на воде с умеренной амплитудой в течение относительно длительного времени. Оно довольно неплохо предсказывает эволюцию длинных волн, особенно если производится поправка на влияние вязкости. Предсказания, касающиеся коротких волн, неправильны, однако наличие коротких волн вследствие сильной дисперсии поверхностных волн несущественно ухудшает точность модели для длинных волн.
В тех случаях, когда волны на поверхности воды не являются точно одномерными, возникает несколько вариантов (см. [378]). Одна из возможностей состоит в том, что волны являются близкими к двумерным. В этом случае (4.1.18) следует заменить на
(4.1.23) (2/т + 3Ur + (¦j - f) frrr)f + fm = 0,
где ті = гу/h. Приведем сводку результатов, известных о решениях (4.1.23).
(i) Каждое решение (4.1.18) удовлетворяет (4.1.23).
(ii) Согласно результатам Кадомцева и Петвиашвили (1970) [252], одномерные солитоны неустойчивы по отношению к длинным поперечным возмущениям, если (1/3 — Т) <0 (т. е. когда слой воды очень тонок); в обычном случае, когда (1/3 — ?) < 0, утверждение о неустойчивости теряет силу.
Экспериментальные результаты, приведенные на рис. 4.2 и 4.6, свидетельствуют о том, что солитоны устойчивы по отношению к коротким поперечным возмущениям в обоих случаях.
(iii) Если T < 1/3 (обычный случай), (4.1.23) имеет М-со-литонные решения и солитоны, которые взаимодействуют, пересекаясь под углом (3.3.90, 91). Взаимодействие двух наклонных солитонов, являющихся в соответствующей системе координат стационарными, изображено на рис. 4.7а.
Этот вид взаимодействия очень напоминает океанские волны, изображенные на фотографии 4.76. Они сфотографированы на 330
4. Приложение
побережье Орегона. По словам фотографа, глубина воды, где происходило взаимодействие, составляла около полуметра. На рисунке видно, что каждая из двух волн связана с периодическими цугами волн (по-видимому, пришедшими из области глубокой воды), но каждая волна имеет столь большую длину по отношению к малой глубине воды, что волны можно считать уединенными. Никакой количественной информации, касающихся этих волн, больше нет, и все-таки сходство между этой картиной и предсказанной теоретически уравнением (4.1.23) поразительно.
Рис. 4.7Ь. «Наклонное» взаимодействие двух волн на отмели. (Фотография любезно предоставлена Т. Тёдтемайером.)
(iv) Поверхностное натяжение оказывает большее влияние, чем сила тяжести, для очень тонких слоев воды, когда T > 1/3. В этом случае одномерные солитоны неустойчивы, но сущест-
ния уравнения Кадомцева — Петвиаш-вили (3.3.91). В этом симметричном случае ki = ki, pi = pa = л/3k у Картинка движется в направлении х со скоростью k\ + k\i 4.1. КдФ и родственные уравнения
331
вуют решения (4.1.23) в виде «лампов»; см. разд. 3.4. Эти (2 + + 1)-мерные аналоги солитонов экспериментально пока еще не наблюдались.
Экспериментаторам, которых интересует поиск лампов, следует иметь в виду, что для этой цели также применимо (4.1.23) с ? > 1/3, если пренебречь силой тяжести, удалить горизонтальное дно и связанный с ним вязкий погранслой и ограничиться только симметричными модами (для которых справедливо (4.1.7)). При этом мы рассматриваем волны на слое воды, который находится во взвешенном состоянии, так же как в случае, изучавшемся Тейлором (1969) [479]. Основное преимущество такой конфигурации состоит в том, что эффекты вязкости пренебрежимо малы.
(v) Для T > 1/3 (преобладает поверхностное натяжение) Захаров и Манаков (1979) [530] получили точное решение уравнения (4.1.23) при помощи обобщения МОЗР. Наложенные ими граничные условия a priori исключали лампы. Манаков, Сан-тини и Тахтаджан (1980) [349] при таких граничных условиях описали асимптотическое поведение решения (f-»-oo).
4.1. b. Внутренние волны. Внутренние колебания жидкости с устойчивой стратификацией, обусловленные силой тяжести, известны как внутренние волны. Океан и атмосфера обычно стратифицированы и обладают богатым спектром таких волн (см., например, [422]). Действительно, волны на поверхности раздела воздух — вода, которые мы только что обсуждали, можно представить как предельный случай внутренних волн (обусловленных чрезвычайно большим градиентом плотности на границе раздела).
При соответствующих условиях длинные внутренние волны умеренной амплитуды, так же как поверхностные волны, эволюционируют согласно уравнению КдФ. Однако для внутренних волн уравнения КдФ не играют столь универсальной роли, как это было в случае поверхностных волн. В зависимости от обстоятельств длинные внутренние волны могут эволюционировать согласно уравнению КдФ (4.1.2), уравнению Бенджамина — Оно (4.1.3) или модели, промежуточной между КдФ и (4.1.3). В этом подразделе мы будем анализировать одну довольно простую (двухслойную) модель внутренних волн для того, чтобы показать, как возникают эти уравнения и в каком смысле они моделируют эволюцию длинных внутренних волн.
Рассмотрим две несжимаемые несмешиваемые жидкости с плотностями pi < р2 и глубинами Аь A2 (Я = Ai + A2), как показано на рис. 4.8. Нижний слой более тяжелой жидкости покоится на горизонтальном непроницаемом дне, в то время как жидкость, находящаяся сверху, имеет свободную поверхность. 332
