Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
4.1. с. Волны Россби. В атмосфере вращающихся планет частицы обладают угловой скоростью, определяемой их географической широтой. Следовательно, закон сохранения углового момента препятствует движению частиц в направлении север — юг, подобно тому как сила тяжести препятствует вертикальному движению стратифицированной по плотности жидкости. Крупномасштабные атмосферные волны, обусловленные вариацией угловой скорости частиц по широте, известны как волны Россби [434].
Можно ожидать, что между внутренними волнами и волнами Россби при соответствующих предположениях существует аналогия. Поскольку уравнение КдФ моделирует внутренние волны, то можно предположить, что оно справедливо и для волн Россби. Это было показано Бенни (1966) [55] и Лонгом (1964) [331] (см. также [378] и цитируемые гам работы). При простейших предположениях (длинные волны, несжимаемая жидкость, приближение ?-плоскости и т. д.) в присутствии стационарного во-сточно-западного зонального потока вывод уравнения КдФ как модели волн Россби производится стандартным образом, описанным в работе Бенни [55], к которой мы отсылаем читателя, интересующегося подробностями. Особое внимание к такому приложению уравнения КдФ обусловлено предположением Мак-суорси и Редекоппа (1976) [356] о том, что Большое красное пятно Юпитера может быть уединенной волной Россби.
На рис. 4.10 изображена фотография Юпитера, полученная в ходе осуществления недавней программы «Вояджер». Картина облачности показывает, что в атмосферном движении Юпитера преобладает ряд восточно-западных зональных потоков, похожих на конверсионный след реактивных самолетов в нашей зем- 338
4. Приложение
Рис. 4.10. Юпитер. Большим красным пятном называется обширное завихре-иие овальной формы ниже экватора. Полость лежит точно к северу от пятна. (Фотография любезно предоставлена НАСА.)
ной атмосфере. Можно видеть также несколько овальных пятен, включая хорошо известное Большое красное пятно в Южном полушарии. Большое красное пятно было обнаружено примерно на этой же широте сотни лет назад; известно, что оно медленно перемещается на запад и сохраняет свою целостность, несмотря на взаимодействие с другими атмосферными объектами. В течение ряда лет было предложено большое число моделей для объяснения загадочного объекта в атмосфере Юпитера, включая модель уединенной волны.
В соответствии с недавней версией такой модели, описанной Редекоппом и Вейдманом [430], рассмотрим квазигеострофич- 4.1. КдФ и родственные уравнения 339
ную форму уравнения потенциала скоростей для несжимаемой жидкости [417]:
(4.1.33) {(dt + Udx) + е*, (дя - V,)} + % +
Здесь (X, у, z) соответствуют восточному, северному и вертикальному направлениям. Функцию полного горизонтального потока 4F запишем в виде
у
W (х, у, z, I) = ^U (ті) dr\ + е-ф (*, у, z, t).
У
Первый член соответствует неоднородному зональному течению, второй — возмущениям. Затем воспользуемся приближением ?-плоскости; тогда параметр Кориолиса аппроксимируется формулой
(4.1.34) / = 2й sin9+ ?r/.
Кроме того,
(4.1.35) К (г)
где N (z) является частотой Брента — Вяйсяля и I2, d — характерные масштабы длины восточно-западного и вертикального направлений соответственно. Величина К характеризует соотношение эффектов вращения и вариаций плотности (т. е. центробежной и гравитационной сил). И наконец,
ц = I2II1
представляет отношение характерных масштабов в направлениях север — юг и восток — запад.
В линейном (е->0) длинноволновом (ц->0) пределе т|з принимает вид
(4.1.36) $=T,An{x — cat)<pn(y)pn(z),
Tl
где Cn является конечным результатом решения двух задач на собственные значения:
(K2K)+ kiPr = о, Pn(O) = Pn(I) = O,
(4.1.37)
ср" — kfan + (? — U") фI(U — сп) = 0, ф„ (ys) = Фя (у\) = 0.
Здесь предполагается, что атмосфера заключена между двумя горизонтальными «твердыми крышками» (при z = 0, 1) и неоднородный зональный поток течет между ys и уы. Из (4.1.37) 340
4. Приложение
следует, что распространение волн возможно только в восточно-западном направлении, т. е. проблема является существенно одномерной, поэтому вопрос о поперечной неустойчивости здесь не возникает.
Если различные моды (4.1.36) разделяются на коротком масштабе времени, следовательно, можно вывести эволюционное уравнение, описывающее взаимодействие мод самих с собой на более длительных временных масштабах. Аналогично рассмотренным случаям уравнения выводятся путем исключения секу-лярных членов, возникающих в следующем порядке разложения. В зависимости от природы и устойчивости стратификации по плотности, характеризуемой величиной N(z), для данной моды может возникнуть либо уравнение КдФ, либо мКдФ. Если две или
-EA--jr/г I ~ і
(Jfy) -20 о 20
X-^t
Рис. 4.11. Картина линий тока для солитона Россби в однородной атмосфере. Фоновый профиль скоростей показан слева. (Редекопп и Вейдман [430].)
более мод имеют примерно одинаковые линейные фазовые скорости, могут возникнуть также системы эволюционных уравнений. К сожалению, об атмосфере Юпитера известно настолько мало, что модель в настоящее время невозможно сделать более точной или пригодной для количественной проверки.
