Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
(f)!=o(„,
то тот же способ вывода приведет к (4.1.4).
Замечание. Предположение (D) является примером «принципа максимального упрощения» Краскала (1963) [295], который гласит, что в рядах теории возмущений, содержащих два или больше малых параметров, наибольший интерес представляет выбор масштаба, максимально упрощающего задачу.
Предположения (А) — (D) наводят на мысль ввести в рассмотрение безразмерные переменные (помеченные *): 4.1. КдФ и родственные уравнения 319
Если ф аналитичиа при г = —h, ее можно представить в виде степенного сходящегося ряда:
OO
ф = ZiV^ Z (z'+l)nyn(x, Г).
п=0
Рэлей в 1876 г. [426] обнаружил, что в случае длинных волн это разложение является асимптотическим. Подставляя этот ряд в (4.1.5) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях z*, получаем
* ® а
(4-1-10) ф"+2=— (ге + 2)(«+1) д(х*)2 •
Из (4.1.6) и (4.1.10) следует, что ф9Я+1 = 0. Таким образом,
<Э2Фп
(4.1.11) ф = h ^ghe [Ф; -L (г*+ I)2
д (х*)2
е2 а4фп 1
+ 1ft* +D4W+-J
До этого момента мы не сделали никаких приближений.
В главном порядке условия на свободной поверхности можно записать в виде
fil 4-^--^1-пі \ dt* дх* дх* и [е>'
dt* дх* + дх* ~~и Чтобы решить (4.1.12), предположим, что
(4.1.13) Є* == ?о Ч-eg, H----- -^r = U0 +BU1+ ....
Чтобы избавиться от секулярных членов, которые возникают в порядке 0(e), введем медленное время (см. [115])
(4.1.14а) т = et*,
так что
(4.1.14b) -W^TF + ^-
Теперь (4.1.12) превратилось в линейное волновое уравнение для (to, «о), общее решение которого имеет вид
, ?o = f(** —Л f) + g(** + /*; т),
^1-Ib) M0 = /(^-Г; + т). 320
4. Приложение
Все это можно выразить через (линейные) характеристические переменные
(4.1.16) r = x*-t* = ^-(x-^Yht),
I = х*+ С + VsAO-
Таким образом, за короткое время (t* = O(I)) произвольное начальное условие расщепляется на волны, бегущие вправо и влево. В течение этого времени наблюдение солитонов невозможно ввиду того, что каждое решение представляет собой (линейную) суперпропорцию волн неизменной формы. В данном случае взаимодействие отсутствует, потому что нелинейные члены слишком малы, чтобы их влияние успело проявиться.
В следующем порядке (4.1.12) принимает вид
, Sul _ _ TdU_ ,
dt* дх* L <?т
д (Uot0) 1 д2и0
дх* 6 дх*3.
ди. , <??,
(4.1.17)
Я//. rlT. Г Дн. /) / \ I Я"/»
dt* дх1
L = _ Г-^1 + JLf-^ї _ 1 d3"o f д% I L дх дх* V 2 J 2 dx*2dt* d**3J'
где T = Tfpgh2 — безразмерное поверхностное натяжение.
Эти уравнения проще интегрировать, используя характеристические переменные (4.1.16). Решения, полученные таким образом, содержат слагаемые, линейно растущие по /, и другие, линейно растущие по г. Они являются секулярными членами и приводят к неравномерной сходимости разложений (4.1.13). Мы избавимся от них, положив коэффициенты при I и г равными нулю:
Таким образом, волны, бегущие влево и вправо, эволюционируют согласно своим собственным уравнениям КдФ, описывающим взаимодействия внутри каждого из двух наборов волн в течение длительного времени (т = е/* = О (1)).
На поверхности раздела вода—воздух (1/3—Т) >0, если h > 0,5 см. Обычно T -С 1/3, и мы вполне можем пренебречь Т. Тогда форма поверхности, соответствующая одному солитону, принимает вид
(4.1.19) ^ = ±еаЧ/сЬ*{^[х± ViS (1 +^)t + x0]}. 4.1. КдФ и родственные уравнения
321
Отметим, что:
(І) Произвол в выборе є несуществен, потому что в формулу (4.1.19) входит лишь комбинация (га2).
(ii) Солитоны поднимают свободную поверхность, в каком бы направлении они ни двигались.
(iii) Скорость каждого солитона превышает л! gh.
(iv) В главном порядке скорость солитона с амплитудой а равна с = л/& (Л + а). Это выражение было найдено Расселом (1938) [437] экспериментально.
(v) Для тонкого слоя воды T > 1/3, и утверждения (ii), (ІІІ) следует заменить на противоположные.
Взаимодействие между волнами, бегущими влево и вправо, может быть найдено интегрированием (4.1.17):
г
(4.1.20) 4g, (/, г, т) = [dtg (I) - dlg (I0)] J f dr +
Го
I
+ Ш (г) - drf (Г0)] S § dl + 2 [g (I) - g (Z0)] [f (г) - f(r0)b
Io
выражение для Ui имеет аналогичный вид. Для того чтобы эти члены не стали секулярными, потребуем также
(4.1.21) \f\, \drf\,\\fdr\, ІяИ^І, \ \gdl\< оо .
Эти условия гарантируют, что взаимодействие между левой и правой волнами является одновременно слабым и локализованным. Для применимости модели КдФ необходимо, чтобы условия (4.1.21) удовлетворялись в течение всего времени (т), если им удовлетворяют начальные условия.
В предположениях (А) — (D) мы заменили (4.1.5—7) упрощенной задачей, решение котрой формально аппроксимирует решение уравнений (4.1.5—7) с точностью до 0(е2). Именно в этом смысле уравнение КдФ моделирует длинные волны умеренной амплитуды на воде. Прежде чем сравнивать результаты, предсказанные этой моделью, с экспериментальными данными, можно сделать несколько замечаний по способу ее вывода.
(і) «Модель КдФ» для волн на воде фактически состоит из линейного волнового уравнения (4.1.12) для «быстрого времени» t* и двух уравнений КдФ на масштабе времен т. Модель должна быть асимптотически справедливой при є -*• 0, и важно чтобы как (4.1.12), так и (4.1.18) оставались нетривиальными в пределе е->-0. Как показал Краскал (1975) [298], модель КдФ предпочтительнее в этом отношении других моделей длинных волн умеренной амплитуды на воде, таких, как уравнение Бус-
