Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
45т1 у(\-у2)3 "Г" 45т1 у (1-у2)2 1-у "Т" 15 <57 г/ (1 — f/2)2 ' (с) Получите решение этого уравнения первого порядка
2. Рассмотрите возмущенное НУШ следующего вида: (1) iqt + qxx + 2q2q' = — ie\q.
(а) Покажите, что
q0 = ті sech ті (Є - Є<°>) ехр [t? (Є - 0(О)) + і (о- о<°>>],
где
-11- = -21,
dt ь' дх '
Jto _ 2 , S2 df — 1 ^ ? ' длг
является решением невозмущенного уравнения. Здесь I, Tl, 0(О) и 0<°> — произвольные функции медленной переменной T = et.
(b) Предположим, что квазистационарное решение уравнения (1) имеет вид
q = q(Q,T,e) ехр [il (Э - 9<°>) + і (о- ст<°>)]. Подставьте его в (1) и получите
— Ч2$ + <7ее + 2q2q' = &F (q)> P (?) = - iyq - iqT +(9- 0(o)) lTq ~ {ШР + of) q.
Предположим, что і? разлагается в ряд
§ (6, Т, е) = f>) (є, Т) + е<7(1) (Q1T)+ ... и главный порядок решения есть
<7<°> = ті sech ті (9 — 6<m). Покажите, что в первом по є порядке получится
- Л2$(,) + + 4 (<f>)2 q{i) + 2 (<р)2 = Я1', Упражнения 309
ГДе Я» = F (<?(0>). Представив qM = ф<" + (ф(1>, — вещественные функции), получите
?ф<1> = - rfyW + ф<п -f 6 {q^f = Re [F">],
Л^'1» = - + + 2 (<7<°>)2 = Im [Я1»].
(с) Заметив, что операторы L, M являются самосопряженными и Lq^ = 0, Мф0) = 0, покажите, что условия разрешимости даются условиями секулярности
OO
5 Re [Я<>] ClQ = O,
— OO OO
J ?(0) Im [F<D] do = 0.
— OO
Воспользуйтесь этими условиями и получите эволюционные уравнения
п 1 dn _ 0
дт ~и' ті аг Y'
показывающие, что амплитуда солитона уменьшается (7 > 0), а скорость остается неизменной. Затем вычислите решение
ф<» = - (№<>> + а<?>) {1-(6- 0<°>) th T1 (9 - в10»)} sech T1 (0 - 0<°>),
?(1) = (0 - 0(О)) {6<u> + у (0 - 0(о))} sech ті (0 - 0(о>)
(при достаточно больших |0 — 0(О)| это разложение следует модифицировать аналоїично тому, как это было сделано в случае уравнения КдФ). Здесь мы имеем два произвольных параметра q(o) и Qr(o)j определяющих фазу и пространственное расположение солитона. Покажите, что в случае задачи с начальными условиями мы должны удовлетворить условиям ортогональности
OO OO
J^(I) de = О, \с}Щ1Ы0=О,
— 00 —00
которые дают
дТ -~и' дТ —и"
Покажите, что эти условия, как в случае уравнения КдФ, можно получить из следующих соотношений (модифицированных за- 310 3. Различные перспективы
конов сохранения):
OO OO
-L jj qq'dx = — 2гу J qq* dx,
— OO —OO
OO OO
-Tt \ (ЧхЧ*-я'хд)аХ = -2гу 5 (qxq*-q*xq)dx.
—оо —OO
3. Рассмотрите многомерное НУШ (Захаров, Рубенчик (1974) [543]):
IQt + qxx + 2\q\2q = е2сс qyy.
(a) Покажите, что имеется следующее точное невозмущенное решение этого уравнения:
?(0) = ^0)(*)^2 «W°>,
q(0) (л:) = % sech Х(х 0(о)).
(b) Пусть T = et, а(0> = а(0) (Г, у), Є<°> = 9(0> (Т, у) и
IQt + ЯXX + 21 q I2 q = Z2Oqyy — ieqT.
Положите
и получите
- Щ + <\хх + 21 «? I2 q = гШМ - ieqT + + E2X (qyy + 2 + MoyyQ - A4 (off ?).
Разложив в ряд $ — <?<с) + е<7(1) + •••> покажите, что для обсуждавшегося солитонного решения
- А2<7<°> + qfx + 21 <?<°> I2 <f> = 0.
Покажите, что в порядке О (є)
- Vq^ + q^x + 4 (<?<0>)2<?«> + 2 (<?<°>)2 <f>* = A2ct^(O) _
(c) Расщепите это уравнение на вещественную и мнимую части = ф'1' + Гф(1) и получите
LlCpl = Wofq^ = fO),
где L0, Li — самосопряженные операторы L0 - + 2 (Г)2
L1 я * + 6(Г)2- Упражнения 311
(d) Заметив, что L0qi0), L{qf = 0, получите условия совместимости
oo
jj q^F[n>dx = О, — 00 oo
J tfVFMdx = О
— OO
и проверьте, что ярі, фі даются явными формулами
0(0)
(D = — Хо(0> -L Я(0> ф[ — 2 лстг дх q .
(e) Покажите, что в порядке 0(е2) функции удовлетворяют уравнениям
L0V21 = А20<?>ір - <р«> + 2аK2Ofqf + аX2ofyqf - 4фЧ»і|)»)^0> = Я»,
Lp2 = Л2<т<г°Уn + -Ф(1) + aqfy - aV (of)2 q<°> -
_ 2 ((ф<1>)2 - (1()(1))2) фй) _ 4^(0) ((ф(1>)2 + (ф(1))2) = /7(2).
(f) Покажите, что условия совместимости дают
\ qw (- ф'г» + сЛ2а(°><7<°>) dx = О, а (?> - 4аX2Ofy = О
и
или
Є<р> + i^0(o)=o.
Поэтому независимо от знака а мы получаем, что это решение НУШ неустойчиво относительно поперечных возмущений. Как мы уже отмечали, в случае а = —1 уравнение (3.8.46) может иметь коллапсирующее решение (см., например, Захаров и Сынах (1976) [549]).
4. В этом упражнении мы покажем, что результаты предыдущего упражнения можно получить из других соображений.
(а) Вначале линеаризуем уравнения из упр. 3, положив q = qW + qtu, | <?(0М > I I. и найдем
4P + Я{х1 + 41 <7(0) I2 <?(1) + 2<?(0) V"* = 312 3. Различные перспективы
(b) Определим
<7<о> = X sech (Я,*) еач = ф<» (х) ewt, <7<» = (ф (х) + гг|з (*)) eil4eQt sin ky
и покажем, что ф, гр удовлетворяют системе уравнений
(L0 + ak2) г|з = — йф, (L1 + ak2) ф = Q^,
где Lo, L\ даны в упр. 3.
(c) Разложите в длинноволновом пределе ?->0:
Q = ш«> +/да + ...,
ф = ф(0) йф(1)+ .
•ф = г|5<°) + AtIp + ____
Тогда в порядке O(I) имеем
І,?«» - О
и возьмем безразлично устойчивое решение
?(0) = А+ф°\
(0) л - а(0)
ff —A q\'.
