Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
(3.8.35) q0 = а sech1'" ті (Є - 6<°>) exp і (а - 0(о>),
где Aa2p= (р -f- 1)ц2/р2. Здесь для простоты мы ограничимся покоящимся решением, т. е.
,Q О ос\ 36 , д0 п да „ да г\2
(3.8.36) -J1=U ~dt~' лГ = 0' -W = T'-
В предположении квазистационарности решения q = q{QT, є) X X exp (ia — ia(0)) получим
- WP^ Q + 4e0 + A\qfPq = BF (q), (d.o.67) ~
F (q) = — iyq — iqT — o{pq.
В порядке є имеем
(3.8.38) - (? q <» + qm + (p + 1) A [q^ff' + pA ^fp q=
= /41)(^(0)). Подставив <7(I) = Ф(1) + "l>ll)> получим
(3.8.39a) _(ЛІ)ф<1) + ф^ + Л(2р+ 1) («f >)2Ч(1) = Re [Я'ЧЛ (3.8.39b) - (^) + ^ + Л (<?(0))2Р Ф(1) = Im И W(0 >)]•
Условие совместимости
oo
(3.8.40) J q{0) Im [F(1) (g(0))] do = O
— 00
дает
,3.8.4,) =
При р = 2 теория возмущений неприменима! Таким образом, если степень нелинейности равна или превосходит 5, то возмущение существенным образом влияет на решение. Но по существу этот эффект вызван не возмущением, а скорее является неотъемлемой чертой самого уравнения. Сейчас мы покажем, как, используя законы сохранения, Захаров и Сынах [549] доказали, что уравнение (3.8.34) допускает коллапсирующие решения, 3.8. Возмущение и устойчивость солитонов 295
Рассмотрим эволюцию во времени следующей величины:
OO
(3.8.42) / = J x2\q2\dx.
— оо
Из (3.8.34) следует
(3.8.43) -g- + 4еу + 4еУJ = 8 J {| qx f - j^jy | q Г2} dx. При p = 2 получим
(3.8.44) -g. = 8/3 + о (є),
где І з является интегралом движения (при 7 = 0):
(3.8.45) k=\{\qx?-^\q?)dx.
Если /з < 0, то это означает, что J обратится в нуль в конечный момент времени, т. е. решение станет сингулярным (фокусировка). Для уравнения (3.8.27) при р ^ 4 доказательство существования коллапса пока отсутствует.
Отметим, что аналогичным способом можно доказать существование коллапсирующих решений у двумерного нелинейного уравнения Шрёдингера
(3.8.46) IAt + Axx + Ayy + 2 \ A I2 Л = 0.
Это уравнение имеет следующие интегралы движения:
Jl=WlAfdxdy,
(3.8.47)
I2= ))(\Ax \2 + \ Ay f-lA^dxdy.
Прямым вычислением (Захаров, Сынах [549], Таланов [473]) проверяется, что
(3.8.48) ^г^(х2 + г/2)| Л!2^г/ = 8/2.
При этом если в начальный момент I2 < 0, то за конечное время в решении возникает сингулярность.
3.8.с. Устойчивость солитона уравнения Кадомцева — Петвиашвили относительно поперечных возмущений. Возникает естественный вопрос об устойчивости солитонов и уединенных волн. Обычная устойчивость солитонов (не поперечная) не вызывает сомнения, когда к уравнению применим МОЗР. Но довольно часто оказывается, что решение является неустойчивым по отношению к поперечным возмущениям. В качестве примера мы 296 3. Различные перспективы
рассмотрим уравнение Кадомцева — Петвиашвили (т. е. двумерное уравнение КдФ).
Уравнение К—П имеет вид
(3.8.49) дх (щ + 6иих + иххх) = — 3?2ougy, а = ± 1.
Предположим, что имеется длинноволновое возмущение в направлении у, т. е. |?| < 1. Невозмущенное уравнение
(3.8.50а) N (и<°>) = дх (uf + 6«<%<?> + ufxx) = 0
имеет решение
и<°> = 2т]2 sech2 г) (0 — 0(О)), (3.8.50b) 0 = X — 4т}2/, 0(°) = 0(°) (т, у), n = const.
Воспользовавшись стандартным многомасштабным разложением, перепишем уравнение К—П в переменных 0, Т, у:
(3.8.51) дв (— 4г)2ив + Quue + um) = — и9г — 3$2оиуу.
Разложив и = и(0) + р«(1) + ?2«(2) -f- . . . и собрав коэффициенты при одинаковых степенях ?, получим серию соотношений
(3.8.52а) N (и«>>) = <50 (— 4ті2«<0°> + 6и<%«» + w™j0) = О,
(3.8.52b) deL (и(п)) = FinK
где
(3.8.52с) deL (и'"») = <Эе (- 4rf<> + 6 (UV)0 + <0>0).
Удобнее работать с (3.8.52Ь) в проинтегрированной форме
е
(3.8.53) L (и<»>) = - Ayfuf1 + 6 («(%<"% + U^0 = ST^ = J Я"» dQ'. Оператор, сопряженный к L, имеет вид
(3.8.54) LAv = 4T12W є - 6м<%9 - Veee.
Ясно, что V = ы<°> является решением уравнения Lau = 0. Воспользовавшись тождеством Грина vLu(n) — uin)LAv = получим (с помощью интегрирования), что для существования ограниченного решения Uw должно выполняться условие
oo
(3.8.55) J #-<">и<°> сЮ = 0.
— OO
При га = 1 мы имеем = 0(rO)t^O), и условие (3.8.55) выполняется автоматически. Решение Uw неоднородного уравнения 3.8. Возмущение и устойчивость солитонов
297
имеет вид
(3.8.56) u«> = -gL- б<°> (2 ы<°> + 0и<9°>),
решение однородного уравнения включено в «(0). При п = 2 получим
в
(3.8.57) ST(2) = -<36 (6и«)) и"» + <Э0и") - За J и«» ей'. Условие (3.8.55) приводит к
OO OO
(3.8.58а) --8^5-0$ \ (2 (w'°>)2 + 6м<9%(°)) d9 + За6<;> J («<°>)2de=0
— оо —оо
или
(3.8.58Ь) 0<г°> - 480^? = 0;
для условия (3.8.55) существенна только четная по переменной б — 0(О) часть функций Srw. Таким образом, при а = +1 соли-тон является неустойчивым по отношению к поперечным возмущениям, при а — —1 солитон, по-видимому, является нейтрально устойчивым (хотя этот факт нами не доказан) '). Для волн на поверхности воды неустойчивый случай реализуется, если поверхностное натяжение является достаточно сильным.
В упражнениях обсуждается пример поперечной неустойчивости солитонов двумерного нелинейного уравнения Шрёдингера. Отметим, что в этом случае одномерный солитон оказывается неустойчивым. Следует отметить, что:
