Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Абловиц М. -> "Солитоны и метод обратной задачи" -> 95

Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.

Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи — М.: Мир, 1987. — 479 c.
Скачать (прямая ссылка): solitiimetodobratnoyzadachi1987.djvu
Предыдущая << 1 .. 89 90 91 92 93 94 < 95 > 96 97 98 99 100 101 .. 164 >> Следующая


Раздел 3.5

1. Изучите структуру двухсолитонного решения (3.5.1). Какой сдвиг фаз возникает в результате взаимодействия? Каким он будет для /V-солитонного решения?

2. Как получить (3.5.38) из (3.5.37)?

3. Проверьте, что (3.5.39) в самом деле приводит к (3.5.41) при б -> 0 и к (3.5.42) при б оо.

4. Имеется решение (3.5.48). Предположим, что fei->0. Покажите, что, за исключением случая 6k ~ я, результат перехода к пределу является тривиальным.

5. В каком смысле (3.5.63) представляет собой задачу Ри-мана — Гильберта? Можно ли это представление рассматривать как задачу рассеяния?

Раздел 3.6

1. В каком смысле подход, основанный на уравнении (3.6.8) с LiF = 0 и операторами L\, L2, определенными в (3.6.12), (3.6.16), является более общим, чем метод обратной задачи рассеяния, описанный в гл. 1? В каком смысле полученная информация будет меньше?

2. Покажите, что «факторизованное» уравнение (3.6.51) дает уравнение Гельфанда — Левитана (3.6.53).

3. Пусть Mi, M2 заданы формулой (3.6.61). Покажите, что условие (TMfi, M2) = Ob самом деле приводит к уравнению Кадомцева— Петвиашвили (3.6.63).

4. Как получить резонансное решение Майлза [376] из (3.6.68)?

Раздел 3.7

1. (а) Покажите, что f = z/2 является точным решением уравнения (3.7.1с). Какое решение уравнения (3.7.1а) соответствует /?

(Ь) Пусть /(г) =z/2-\-g(z). Какому уравнению удовлетворяет функция g"(г) ? Проверьте, что g является интегрирующим множителем, и проинтегрируйте уравнение один раз. Полученное уравнение второго порядка содержится в списке книги [238, 304

3. Различные перспективы

гл. 14] под номером XXXIV. Покажите, что приведенное там «решение» этого уравнения является на самом деле преобразованием Миуры [379].

2. После формулы (3.7.5а) намечено «частичное доказательство» гипотезы о свойстве Пенлеве. В каком смысле это доказательство является частичным?

3. Уравнение Бюргерса

Ut -+ UUx = Uxx

точно линеаризуется преобразованием Коула — Хопфа (см. разд. 3.1, 3.2). Покажите, что оно допускает решение типа бегущей волны и автомодельное решение. Покажите, что в обоих случаях соответствующее ОДУ можно один раз проинтегрировать, и в результате получится обобщенное уравнение Риккати (3.7.3), т. е. оно Р-типа.

4. Уравнение Фишера

Ut = U-U2-iT ихх

не имеет псевдопотенциала (см. разд. 3.2). Какому ОДУ подчиняются решения типа бегущей волны и = и(х — et)? Покажите, что это уравнение будет Р-типа только в случае с2 = 25/6.

При этих специальных значениях Абловиц и Зепетела [30] проинтегрировали это ОДУ и нашли, по-видимому, единственные явные решения этого уравнения.

5. Обобщенное уравнение КдФ имеет вид

щ + UnUx + Uxxx = 0.

Какому семейству ОДУ удовлетворяют решения этого уравнения в виде бегущей волны? Для каких п эти уравнения будут Р-типа? (Сравнить полученное утверждение с результатом для упр. 6 разд. 3.2.)

6. (а) Каков автомодельный вид уравнения (3.7.10)? Покажите, что решения этого ОДУ имеют подвижные логарифмические точки ветвления. Это указывает на то, что решение линейного интегрального уравнения обратной задачи рассеяния не может непосредственно удовлетворять уравнению sin-Гордон.

(Ь) Покажите, что подвижные точки ветвления исчезнут либо после дифференцирования, либо после экспоненциальной замены, указанной сразу за формулой (3.7.11). Напомним, (см. (1.2.18)), что МОЗР позволяет определить их, а не и. Этот пример показывает, что если подвижная критическая точка является достаточно простой, то ее можно исключить подходящим преобразованием.

7. Имеются серьезные основания считать, что «двойное уравнение sin-Гордон»

uxt = sin и -j- X sin 2и Упражнения

305

нельзя проинтегрировать с помощью МОЗР (см. разд. 4.4). Найдите его автомодельное решение. Соответствующее ОДУ имеет подвижные логарифмические точки ветвления, как и в случае уравнения sin-Гордон. Покажите, что после экспоненциальной замены это уравнение по-прежнему будет иметь подвижные критические точки.

8. Михайлов ') (1979) [374] показал, что к уравнению

tixt = aeu + be-2u

применим МОЗР. Покажите, что соответствующее автомодельное уравнение не имеет вида (3.7.4), но приводится к нему экспоненциальной подстановкой. Покажите, что это уравнение P-типа. (Это ОДУ, в сущности, является уравнением Рш, но оно отсутствует в списке Айнса [238]! Это показывает, насколько опасно поверхностное сравнение со списком. Дело в том, что указанные в списке уравнения приведены к «каноническому» виду, а эквивалентные им уравнения не указаны. Поэтому мы рекомендуем каждый раз анализировать структуру критических точек, а не пользоваться готовым списком.)

9. Захаров (1981) [530] сообщал о численных экспериментах, результаты которых наводят на мысль, что уравнение

ихх — utt — и3

может обладать некоторыми специальными свойствами. Найдите автомодельное решение. Покажите, что соответствующее ОДУ не является уравнением Р-типа.

10. «Уравнения Буссинеска» (обращаем внимание на множественное число)

ht + (uh)x = 0,

jj

Ut + UUx + ghx + -j- hxtt = 0
Предыдущая << 1 .. 89 90 91 92 93 94 < 95 > 96 97 98 99 100 101 .. 164 >> Следующая

Реклама
Как сделать фундамент для автоматического шлагбаума

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed