Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
LaV1 = 0, г = 1,...,М, M^N, где La — оператор, сопряженный к L. Левая часть равенства
(3.8.5) (Lq(i)) Vi - (LaV1) <р = Fvi
всегда является дивергенцией (теорема Грина). Интегрирование этого равенства приводит к секулярным условиям. Эти секуляр-ные условия позволяют вычислить поправку <7(1), удовлетворяющую подходящим граничным условиям (т. е. <7(1) ограничена при |0|->-оо). Имеется определенная свобода в выборе решения Дело в том, что частично решение <7(1) можно включить в главный порядок q{0\ немного сдвинув его параметры. Можно добиться единственности решения <7(1), если наложить дополнительные условия, отражающие специфику задачи. Для вычисления высших порядков q(N) препятствий не возникает.
Из этого метода следует:
(i) Полученное разложение, вообще говоря, не приближает решения равномерно на всей оси < оо (см. [1], [267], [255], [282]).
(ii) В каждой области, где оно справедливо, мы получим квазистационарное решение, т. е. решение, зависящее только от б; и Т.
(iii) Чтобы получить равномерно пригодное разложение решения на всей оси, следует произвести сшивку решения, полученного описанным методом, с нестационарным решением для больших |0,| (т. е. при |0| ~ O(V3)).
В качестве примера применения этой общей схемы мы рассмотрим уравнение КдФ и «сильно нелинейные» уравнения КдФ со слабо диссипативным возмущением. С физической точки зрения это отвечает распространению солитонов в среде с медленно меняющимися параметрами [245]. Интересной особенностью решений этих уравнений является возникновение из-за диссипа-тивных членов полочки за возмущенным солнтоном (см, [323], [267], [255]), 3.8. Возмущение и устойчивость солитонов 289
3.8.а. Уравнение КдФ с затуханием. Пусть возмущенное уравнение КдФ имеет вид
(3.8.6) Ці + 6 ццх + цххх = — гуц,
где Y, Є — постоянные, Y > 0, у имеет порядок 1 и 0<е<1. (Ниже приведен пример анализа конкретного уравнения и его возмущения. Такой анализ применим в гораздо более общей ситуации.) Солитонное решение невозмущенного уравнения (е .= = 0) мы запишем в виде
(3.8.7) q^ = 2rfsech2 Ti(B-G0)f § = l,
Здесь ті и 0о— произвольные параметры, которые могут зависеть от «медленного времени T = et. В предположении квазистационарности получим
(3.8.8) - 4Tj2^e + 6<7<7е + <?еев = -гуц- е0г. Разложив 0 в ряд по є, в главном порядке получим уравнение
(3.8.9) _ 4т^(о> + б0|о)0<о> + 4<о>д = о
и возьмем его решение в виде (солитон КдФ) 0(0) = 2 г)2 sech2 -л (0 — 0(0)).
В порядке е получим
Цій ^ _ 4^,,, + ? W(0^(„)e + ^ = рт,
(3.8.10) ~ 1
Я» = - y0(O) - cjf = - Y<7(0)--— {20(О) + (0 — 0!о)) +
+ 0*-
Функция 0(О) является подходящим (быстро убывающим при |0| -»- оо) решением задачи, сопряженной к Lu = 0, т. е.
(3.8.11) />0<°> = 0, La = Arfd0 - 6</О>(Э0 - dg. Условие совместимости
OO
(3.8.12) J 0(о)/?(п cfd = 0
— 00
приводит к
(3.8.13) Ip = -Iy, или n^^tlWexp^-l Jvrf^.
Это означает, что из-за диссипации (y > 0) амплитуда и скорость солитона адиабатически убывают — наиболее важный ре-
10 Зак. 114 290
3. Различные перспективы
зультат в этой задаче. Уравнение (3.8.10) при выполнении
(3.8.13) можно решить. В результате получим
(3.8.14) $(i> = JL[_l + thq>+3(l +^e0r) (I-(Pthcp)Sech2q,+
+ ф (2 — <p th ф) sech2 ф^,
|ф|<0(е-і/2),
где ф = г|(0 — во) (см. упражнения в конце этой главы). Отметим, что ниже будет найдено 6(г0). Более высокие порядки указывают на неприменимость этого разложения при і ф | = О (е_1/2). Это соответствует границе применимости разложения Kayna, Ньюэла [267] и Карпмана, Маслова [255] при1 t ~ 0(е_1/2). Формула (3.8.14) показывает, что диссипация приводит к появлению полочки; действительно, в асимптотике получим
(3.8.15) q>
d).
-j^j- {1 — 2ф2exp(2ф) при 1 <-ф<0(Г"2). Ij- ехр (— 2ф) при 1 < ф < О (е_1/2).
Это полностью согласуется с результатами, полученными с помощью МОЗР. Отметим, что параметр 0(О) может выбираться произвольно; при этом член 0^(1 — ф Шф) sech2 ф можно включить в решение главного порядка <?(0), сдвинув аргумент rj -> ті — — е0<?у8т). Мы привели наиболее существенные результаты, касающиеся теории возмущений; читатель, не заинтересованный в более детальном рассмотрении, может перейти прямо к разд. 3.8. Ь.
Если т] задана начальным условием, то можно определить, какому уравнению подчиняется 0(О). Рассмотрим задачу Коши, причем в качестве начального условия выберем невозмущенный солитон
(3.8.16) q (х, 0) = 2т)2 sech2 г)Х.
Из (3.8.16) следует соотношение (скорость изменения энергии)
со оо
(3.8.17) -?- ^q2dx = -2ey J q2 dx.
-OO -OO
Кроме этого, предположим, что q можно представить в виде qs-{-8q, где qs — солитонная часть решения, а б^ — поправка к ней. Для того чтобы воспользоваться формулой (3.8.17), нам необходимо знать решение в областях, удаленных от солитона. Учитывая (3.8.13) (в главном порядке (3.8.17) совпадает с 3.8. Возмущение и устойчивость солитонов
291
(3.8.13)), получим
(3.8.18) =
Soo
{qs oq + (6<7)2/2} dx. Из условия oq (х, 0)==0 по-
