Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
(i) В большинстве случаев задачу об устойчивости можно решить с помощью обычных многомасштабных разложений либо более стандартного подхода (см. Захаров, Рубенчик [543])2);
(ii) Эти идеи применимы также в случае многомерной задачи о самоиндуцированной прозрачности (см. разд. 4.4 и [13]) и при изучении устойчивости волновых пакетов на поверхности жидкости конечной глубины (солитоны опять оказываются неустойчивыми относительно поперечных возмущений, см. Абловиц, Сигур [28]). При этом опять оказывается, что и солитоны, и бризеры неустойчивы относительно длинноволновых поперечных возмущений.
') В этом случае, как показано в работах [11*, 12*], солитон является асимптотически устойчивым, так как поперечные возмущения затухают со временем, излучая свою энергию в непреывный спектр. — Прим. перев.
2) См. также обзор [13*], [14*]. 298 3. Различные перспективы
Упражнения
Раздел 3.1
1. Пусть C(k2/4)—целая функция k2. Покажите, что преобразование (3.1.1) отображает любое высшее уравнение мКдФ
-{^г -f2+^ \ dyvJvx = O в соответствующее высшее уравнение КдФ
~~тib ~и + 4и* \ dy)u* =
при этом C(k2/4) в обоих случаях является фазовой скоростью линеаризованного уравнения. (Сделать это можно различными способами. Красивое решение было предложено А. Рамани; он воспользовался линейными интегральными уравнениями (1.3.27), (1.3.37) и отождествил (Ki + Ki) в (1.3.27) с К в (1.3.37).)
2. Совершенно ясно, что, подставив (3.1.2) в любое уравнение D(u) =0, мы получим E(Q) = 0, которое отображается в D(u) =0 с помощью (3.1.2). Обратно, предположим, что ?(0) =0 является линейным уравнением с заданным дисперсионным соотношением a>(k) (т. е. обобщением (3.1.3)). Что есть в этом случае D (и) = 0?
3. Рассмотрим
где а — постоянная, а к = К( (и — v)/2) удовлетворяет уравнению
К" + 2aU' = 0.
Рунд [436] предложил эти соотношения в качестве ПБ уравнения
Щ + "J ("*)4 + Uxxx = 0
в себя. Это уравнение является весьма интересным, так как, положив Ux = ф, мы получим уравнение
ф t + афзф* + (fxxx = 0,
не имеющее солитонов и обладающее только тремя полиномиальными законами сохранения. Покажите, что предложенное ПБ на самом деле не является ПБ, Упражнения 299
4. Пусть
Vx = CfbM+ Ux [?'(U)V + a(M)], Vt = с2еї <"> + ut [?' (и) V + a (u)],
где а, ? — произвольные функции, а C1, C2 — постоянные.
(a) Покажите, что это преобразование не является ПБ.
(b) Покажите, что это преобразование является точечным, т. е. V = V(x, t, и(х, t)). Найдите функцию V.
5. (а) Задача рассеяния для уравнения sin-Гордон имеет вид (это следует из (1.2.17), (1.2.18))
»1 х + %°1 = 4*>2> Ou = I-O1 + -J-O2,
v2x + ilv2 = rvb V2t=JVl-JV2.
Найдите D (u) = О и E(v) = 0. Как связаны уравнения D (и) = O и sin-Гордон?
(Ь) Определим V = v\/v2 и U = q — г. Покажите, что задача рассеяния определяет ПБ между D(U) =O и E(V) =0. Выведите (3.1.7) из ПБ.
6. Захаров (1974) [527] представил уравнение Буссинескав виде
Ut = Ax, At= (и+ и2 + ^- Uxx^x
и получил его из задачи рассеяния
Ъххх + (их + і (I)"2 а) ф + (1 + 2и) = Я* , ( 4 \ 1/2 ,4
1 V3 ) Ь= ^xx +Yu^'
Покажите, что это является преобразованием Бэклунда.
7. Покажите, что задача рассеяния для уравнения трехвол-нового взаимодействия (разд. 2.1) является преобразованием Бэклунда.
8. (а) Найти преобразование Бэклунда между уравнениями КдФ пятого порядка и мКдФ пятого порядка.
(Ь) Найти ПБ уравнения КдФ пятого порядка в себя.
Раздел 3.2
1. Покажите, что ПБ (3.1.19), (3.1.20) уравнения КдФ в себя может быть приведено к виду (3.2.5) при M=I. Таким образом, это ПБ является псевдопотенциалом.
2. (а) Покажите, что 300
3. Различные перспективы
является ПБ уравнения (3.2.6) в себя при произвольном значении параметра Я,
(b) Найти общий вид решения уравнения (3.2.6) типа бегущей волны, предположив, что и = и(х — et).
(c) Отправляясь от этого решения, найти при помощи ПБ другое точное решение уравнения (3.2.6). Можно ли рассматривать это решение как двухсолитонное?
(d) Это ПБ можно вывести из преобразования Коула — Xon-фа следующим образом: (і) если 0 удовлетворяет уравнению теплопроводности, то функция и, вычисленная по формуле (3.1.2), удовлетворяет уравнению (3.2.6); (И) -ф = Э* также удовлетворяет уравнению теплопроводности; (iii) функция V, определенная по ф с помощью (3.1.2), удовлетворяет уравнению (3.2.6); (iv) связь между V и и является искомым ПБ (см. п. «а») (М. Краскал, частное сообщение).
3. Найти матричное представление решения соотношений (3.2.19). Построить линейный псевдопотенциал. Является ли он ПБ?
4. (а) Покажите, что уравнение (3.2.20) имеет псевдопотенциал тогда и только тогда, когда соотношения (3.2.21) обладают нетривиальными решениями. Покажите, что псевдопотенциал тривиален, если а = у = 0.
(b) Покажите, что при N = 1 единственное решение соотношений (3.2.21) имеет а = у = 0.
(c) Уравнение (3.2.20) не имеет очевидных законов сохранения. Чему соответствует абелево решение соотношений (3.2.21)?
