Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
Для w+(z, а) при а > 0 знаменатель в (3.7.38) отрицателен в точках Zo+ г (0 < є <С 1) и положителен при 2-э-+оо, поэтому он обязан обращаться в нуль в некоторой промежуточной точке. Но точка Z0 является по предположению самым правым полюсом функции w(г, а), поэтому в нуле знаменателя будет полюс решения w+(z, а+1). Таким образом, при а > 0, если w(г, а) убывает при г->+оо и имеет полюс в некоторой конечной точке Zo, то такими же свойствами обладает решение w(z, а+1). Поскольку w(z, 1) имеет полюс, то его имеет и w(z,n), п — целое положительное число. Согласно (3.7.39), полюс в той же точке имеет решение w(z, —п).
Здесь мы остановились только на уравнении Рц, но совершенно ясно, что остальные уравнения Пенлеве также можно 284
3. Различные перспективы
исследовать этим методом. Например, преобразования Бэклунда для Pi были найдены в работе [73], для Рш, Piv, Pv в [35] , для Piv в [165]. Преобразование (3.7.38) для Pn и некоторые результаты для других уравнений были ранее другими методами получены советскими математиками (Громак, Еругин, Лукашевич и Яблонский, обзор советских работ и дополнительную библиографию можно найти в статье Еругина [149]).
С другой стороны, Абловиц, Рамани и Сигур [23] нашли линейные интегральные уравнения, обслуживающие ОДУ Pm и Piv- Там же на основе линейного интегрального уравнения были построены сходящиеся ряды для семейства решений уравнения Piii- Эти ряды оказались эквивалентными рядам, построенным ранее с помощью совершенно другого подхода в работе Мак-Коя, Трэйси и By [363]. Авторам этой работы удалось установить формулы связи асимптотик для Рш, аналогичные (3.7.37) для Pu.
Уравнение Рш возникает в скэйлинговом пределе корреляционной функции спинов в двумерной модели Изинга; это обстоятельство послужило стимулом работы Мак-Коя, Треэси, By и Бароша [508]. Хотя их работа никак не связана с МОЗР, но в некоторых аспектах эти подходы весьма близки. Поэтому напрашивается вопрос: имеется ли какая-нибудь связь двумерной модели Изинга и МОЗР?
Серия весьма важных работ Сато, Мивы и Джимбо [444] была связана с: (і) деформациями линейных дифференциальных уравнений, сохраняющими матрицу монодромии; (іі) голо-номной квантовой теорией поля; (iii) скэйлинговым пределом двумерной модели Изинга; (iv) теорией групп Клиффорда; (v) МОЗР (см. также [256], [488] и исчерпывающий обзор Джимбо, Мива, Мори, Сато [243]). Идеи, лежащие в основе этих работ, мы опишем, опираясь на близкую по духу работу Флашки и Ньюэлла [163], в которой подчеркивалась связь с трансценден-тами Пенлеве.
Нам понадобится ряд определений. Рассмотрим (матричную) систему обыкновенных дифференциальных уравнений
где Aj — постоянные т X m-матрицы, а х является комплексной переменной. Решение уравнения (3.7.42) обычно является многозначной функцией х\ обозначим через У(х) однозначную ветвь фундаментального решения. Если точка х обойдет одну из сингулярных точек а, по замкнутому контуру, то полученная функция Y(х), как правило, будет отличаться от своего исходного
(3.7.42) 3.7. Трансценденты Пенлеве
285
значения, но непременно имеется линейная связь (3.7.43) Y (х) = MjY (х).
Матрицу M1- называют матрицей монодромии точки а;- (см. разд. 2.3). Вопрос о деформациях, сохраняющих матрицы монодромии, формулируется следующим образом. Допустим, что точке а,- разрешено двигаться по комплексной плоскости; как при этом следует изменять матрицу Aj, чтобы матрица монодромии (M1) оставалась постоянной? В простейшем нетривиальном случае, когда является 2 X 2-матрицами, N = 4 и позволено двигаться только одной сингулярности, эта задача сводится к решению уравнения Pvi! Другими словами, уравнение Pvi можно рассматривать как условие на деформации коэффициентов линейной системы, при которых сохраняются матрицы монодромии ').
В рассмотренном примере ОДУ имеет только регулярные особые точки. В работе Флашки и Ньюэла основное внимание было уделено нерегулярным особым точкам, когда матрица монодромии заменяется на множители Стокса.
В некотором смысле мы все время имели дело с теорией деформаций линейных уравнений. Например, в гл. 1 мы рассматривали линейный дифференциальный оператор
и задавали вопрос: как следует изменять коэффициентную функцию q(x) с изменением внешнего параметра (t), чтобы спектр оператора L оставался инвариантным? Ответ состоит в.том, что функция q(x, t) должна удовлетворять уравнению КдФ или одному из его высших аналогов (1.5.21).
Таким образом, имеется еще один путь рассмотрения МОЗР и трансцендентов Пенлеве с точки зрения теории деформаций линейных дифференциальных уравнений. При этом основное внимание направлено на прямую задачу рассеяния в МОЗР и предполагается, что задача рассеяния для мКдФ должна быть преобразована к автомодельной форме. Преобразование
z = х = ') = (3/Г1/Зшф)>
Vi (X, I, 0 = фг (z, X)
') Вопрос о деформациях, сохраняющих матрицу монодромии, был поставлен и решен в классических работах Шрезингера и Ганье, там же была обнаружена связь с уравнениями Пенлеве. По этому поводу см. [11*] стр. 283. — Прим. перев. 286
