Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
3. Различные перспективы
приводит в результате к системе линейных ОДУ
7 44) == ~ 1 (4*2 + 2 + 2да2) фі + + 2iw^ ф2'
^qp2 = — 2iwz) фі + і (4х2 + г + 2ш2) ф2.
Множители Стокса решений системы (3.7.44) в окрестности нерегулярных особых точек не зависят от 2 только в том случае, если w(z) удовлетворяет уравнению Рц. Зная свойства матриц монодромии и расположение особых точек, Флашка и Ньюэлл сумели переформулировать задачу в терминах сингулярных линейных интегральных уравнений. Они не рассматривали вопроса о существовании решений этих уравнений. В некоторых частных случаях интегральное уравнение воспроизводит известные результаты.
Подведем итоги этого раздела. Имеется тесная связь между уравнениями в частных производных, интегрируемыми методом обратной задачи рассеяния, и ОДУ Р-типа. Эту связь можно с успехом использовать как при изучении уравнений в частных производных, так и ОДУ. При изучении ОДУ (в особенности Pu) оказалось, что почти каждый аспект МОЗР (прямая задача рассеяния, обратная задача рассеяния, преобразование Бэклунда и т. д.) имеет важное значение.
3.8. Возмущения и устойчивость солитонов и уединенных волн относительно поперечных возмущений. В этом разделе мы кратко обсудим, какое влияние оказывают малые возмущения (например, поперечные) на солитоны и уединенные волны. Этому очень естественному вопросу посвящено довольно много работ.
Здесь мы рассмотрим задачи следующих типов: (а) действие диссипативных возмущений на солитон, (Ь) действие диссипации на уединенную волну и (с) действие поперечных возмущений на солитон (аналогично можно рассматривать задачу об устойчивости уединенных волн относительно поперечных возмущений). Подразделы можно читать независимо друг от друга.
Что касается теории возмущения для солитонов, то на этот счет имеется довольно много методов, развитых на основе МОЗР (см., например, [260], [267], [255], [272]). Методы Kayna, Нью-эла [267] и Карпмана, Маслова [255] позволяют вывести возмущенные уравнения, описывающие эволюцию данных рассеяния, используя теорию возмущений соответствующей линейной задачи рассеяния. Исходные зависимые переменные восстанавливаются по решению обратной задачи рассеяния (т. е. линейного интегрального уравнения Гельфанда — Левитана — Марченко). Отправляясь от другой точки зрения, Кинер и Мак-Лаф-дин [272] развили теорию возмущений, воспользовавшись функ- 3.8. Возмущение и устойчивость солитонов
287
цией Грина для решения линеаризованного уравнения, отвечающего исходному уравнению более высокого порядка. Но для вычисления функции Грина необходимо прибегнуть к МОЗР.
С другой стороны, хорошо известно, что существует весьма общая теория возмущений для частных решений нелинейных уравнений (таких, как солитоны, бризеры, уединенные волны, периодические решения). Она применялась для многих задач (см., например, [478], [1], [245], [505], [543], [252], [509], [279], [286], [282]). В этом разделе мы покажем, как эти подходы применяются к задачам с солитонами и уединенными волнами. Здесь мы вовсе не пытаемся сделать сколько-нибудь исчерпывающий обзор существующих теорий возмущений для солитонов или уединенных волн.
Основная идея теории возмущений состоит в следующем. Мы изучаем решение возмущенного нелинейного уравнения весьма общего вида
(3.8.1) K(q, qt, qx, ...) = eF(q, qx, ...), 0<е<1,
где К и F — нелинейные функции от q, qx, ... . Невозмущенное уравнение (є = 0)
(3.8.2) K(q"\ qf\ q°>, ...) = 0
имеет решение <7(0). В качестве qw можно брать как солитонное решение, так и уединенную волну (а также бризер или более сложное солитонное решение). Мы запишем это решение явно, указав естественные «быстрые» и «медленные» переменные:
(3.8.3) <7<°> = <f > (O1, O2.....Qm, T : P1, P2, ..., Pn).
В (3.8.3) Oj (i = 1, т) обозначают быстрые переменные, T = et —медленная переменная, Pt (I = I, . .. , М) — параметры, зависящие от медленных переменных (в некоторых задачах может потребоваться введение медленной переменной X = ех\ см., например, [506], [1]). Во многих задачах для невозмущенного решения можно ограничиться одной быстрой переменной
<99
Q = X-Pit. Обобщим О так, чтобы дд/дх = 1, ~gf = — P\> и
воспользуемся Pi = Pi(T) для исключения секулярных членов. В этом случае решение (3.8.3) мы будем называть квазистационарным и записывать q = q(Q, Т, є). Для P1, ..., Pn мы выведем уравнение, опираясь на условия вроде условия исключения секулярных членов (должно быть в точности N независимых условий). Некоторые из них возникают из тождества Грина. Предположим, что q выражается в следующем виде:
q = фа> + е<7(1> + ... 288
3. Различные перспективы
(после введения подходящих переменных 0/, T и т. д.). Тогда (3.8.2) представляет главный порядок задачи, а в следующем порядке получим (если предположить, что К зависит от производных по времени только первого порядка)
(3.8.4) L (де<, Г) <Р = F т —Щ;Ят U4(O) - F-
Здесь L(d6i, 4(0))" = 0 — линеаризация уравнения K(q, Ци qx, ...) = 0 после перехода от (х, t) к координатам 0,. Обозначим Vi (і = 1, ..., M) решения однородной сопряженной задачи с нулевыми граничными условиями (т. е. и,--»-0 при І в I —* оо):
