Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
Шаг 2. Для того чтобы найти степени, при которых появляются две оставшиеся постоянные интегрирования, положим
X = г— г0,
R ~ах~1 + C1AT-*+", S = ^-x-1 + С2х~1+р
и подставим это в главные члены уравнений (3.7.27), сохранив лишь члены, линейные по Ci, C2. В результате для определения р получим полином четвертой степени, имеющий корни (—1, О, 3, 4). Первые два корня отвечают свободе в выборе постоянных 278
3. Различные перспективы
го, а. Последние два корня определяют степени, начиная с которых могут появиться две оставшиеся постоянные интегрирования.
Шаг 3. Если (3.7.28) представляет первые члены разложения решения в ряд Лорана вблизи подвижного полюса х0, то
* -і
(3.7.29)
а
X + Go + а*\Х + Ci2X2 + а3х3,
а5 ~ х-1 + b0 + b{x -f- Ь2х2 + Ь3х3.
Подставим это разложение в (3.7.27) и будем рекуррентно вычислять коэффициенты:
г. 1
а0 = Ь0 = —
б Г0 '
Q1 = Ъх = - — - (я-—1H" - 7)
6 36г2
о
I и _А(!LzJ) ("— 1) (4я2 — 35я + 85)
108г,3
о
причем на (а2 — Ь2) нет соотношений, это третья постоянная интегрирования. (Пока все хорошо!) Но в следующем порядке мы получим
(3.7.30) '0.(? + ?) = (и-1)0.
где (*) ф 0. Если п = 1 (а этот случай, как мы знаем, интегрируется с помощью МОЗР), то соотношение (3.7.30) выполнено тождественно при любом значении четвертой постоянной интегрирования (йз + Ь3), и решение не имеет подвижных точек ветвления. Если пф 1, то (3.7.30) приводит к противоречию, избежать которого можно, дополнив разложение (3.7.29) логарифмическими членами в порядке 0(х3). Эти логарифмические члены породят бесконечную последовательность усложняющихся членов в высших порядках разложения. Система (3.7.27) не является уравнением Р-типа при п Ф 1.
Если гипотеза о свойстве Пенлеве верна, то нелинейное уравнение Шрёдингера (3.7.24) может быть проинтегрировано с помощью МОЗР только в размерности 1 + 1.
Эти два примера вовсе не исчерпывают все возможные нюансы анализа особых точек. Читатель, интересующийся подробностями, может обратиться к работе [23].
3.7. d. Глобальные свойства трансцендентов Пенлеве. Кроме своего эвристического значения в качестве теста для уравнений в частных производных связь между МОЗР и ОДУ Р-типа может быть использована для получения информации о глобальных свойствах трансцендентов Пенлеве. Например, в разд. 3.6 3.7. Трансценденты Пенлеве
279
мы видели, что если К(х, у) удовлетворяет уравнению
(3.7.31) К(х, y) = rAi(^JL) +
OO OO
x x
где Ai(г)—функция Эйри, а—±1, г — параметр, то w(г; г) = = K(z,z\r) удовлетворяет частному случаю уравнения P11;
(3.7.32) = zw + 2<тш3, о = ± 1.
с граничным условием при z->- +оо
(3.7.33) да (г; г) ~ г Ai (г).
Уравнение (3.7.31) представляет собой точную линеаризацию од-нопараметрического семейства решений ОДУ (3.7.32). В этом семействе содержатся все ограниченные решения уравнения (3.7.32).
Глобальное существование этого семейства решений можно доказать непосредственно из (3.7.31). Перепишем (3.7.31) в сокращенном виде:
(3.7.34) [/ - ar2A(z)] К = г Ai;
при этом факт существования ограниченного решения уравнения (3.7.32) следует непосредственно из ограниченности оператора [/ — or2A(z)]~x. Здесь мы приведем лишь результаты исследования (подробности можно найти в работах [27], [206], [23]).
(i) A(z) —положительный оператор. Поэтому при о = —1 уравнения (3.7.32, 33) имеют единственное ограниченное решение при всех вещественных z и вещественных г.
(ii) L2-HOpMa оператора A(z) не превышает 1 для любого вещественного z. Поэтому если о = +1, то уравнения (3.7.32, 33) имеют единственное ограниченное решение при всех вещественных z, если —1 < г <с 1.
(ІІІ) При о = +1, |л| = 1 возникает критическая ветвь решения уравнения (3.7.32), стремящаяся к нулю при 2->+оо и алгебраически растущая (2ьу2 + 2~0) при 2-?—оо.
(iv) Если 0 = +1, ''>1, то найдется такое вещественное Zo(r), то оператор [I — or2A(z)]~x существует только при z > Zo. Мы подозреваем (но это не доказано), что w(z; г) имеет полюс В точке Zo.
(v) Согласно аргументации, приведенной после формулы (3.7.5а), единственными особенностями этого семейства решений на комплексной плоскости z являются полюсы. (Разумеется, этот результат впервые был получен Пенлеве.) 280
3. Различные перспективы
Эта тема не заканчивается доказательством существования. Так же как уравнение Эйри
d2w
является представителем простой линейной точки поворота, так и уравнение (3.7.32) является представителем класса простых нелинейных точек поворота. Так, например, Хаберман [193] показал, что слаболинейное решение уравнения
(3.7.35) Ц-4- k(ez)u = e$(ez)u\ е<1,
в окрестности нуля функции k(ez) аппроксимируется (асимптотически) решением уравнения (3.7.32). Таким образом, качественное поведение такого решения уравнения (3.7.35) является слабонелинейным и экспоненциально убывающим при k < 0, слабонелинейным и осциллирующим при k > 0, но существенно нелинейным в переходной области, где оно аппроксимируется решением уравнения (3.7.32). Это побуждает нас более детально изучить решения уравнения (3.7.32), так как через них производится сшивка двух областей, в которых решения уравнения (3.7.35) имеют качественно различное поведение. Таким образом, мы приходим к задаче о связи асимптотик:
