Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
(3.7.11) и (х, t) = / (z), z = xt. Если положить w (z) = ехр (if), то
рш да" = ± (W'f - і (W>) + ± (W2 _ 1),
и снова получается уравнение Р-типа. Уравнение Шрёдингера с производной
(3.7.12) iqt = qxx-4iq2(q')x + 8\q\*q
может быть проинтегрировано методом обратной задачи рассеяния (Кауп, Ньюэлл 1266]). ОДУ, которому удовлетворяет автомодельное решение уравнения (3.7.12), приводится к Piv (см. [23]). Другие примеры были построены в [243, 244], [440], [372]; см. такжз упражнения к этой главе. Во всех известных нам примерах уравнения в частных производных, интегрируемые с помощью МОЗР, редуцируются к ОДУ Р-типа. Уравнения, которые принято считать неинтегрируемыми с помощью МОЗР (например, на основании численных экспериментов, в 3.7. Трансценденты Пенлеве
273
которых две уединенные волны взаимодействуют иначе, чем солитоны), редуцируются к ОДУ, не принадлежащим к Р-типу. Чтобы избежать недоразумений, мы еще раз подчеркнем, что вопрос состоит не в том, принадлежит или нет ОДУ к списку из шести уравнений Пенлеве; важно знать, имеет ли оно Р-тип (т. е. отсутствие подвижных критических точек).
Эти примеры показывают, что, по всей видимости, гипотеза срабатывает. Следуя работе [23], мы набросаем частичное доказательство этой гипотезы, показывающее, почему она должна работать. Рассмотрим линейное интегральное уравнение (в частном случае F (х, у) = F(x + у))
OO
(3.7.5а) К (х, у) = F (х + у) + ^ К (х, z) N {х\ z, у) dz, у > х.
x
Потребуем, чтобы F удовлетворяла линейному ОДУ, обращалась в нуль при больших положительных значениях аргумента и M зависела от F по известному закону. (Примеры зависимости N от F были приведены в разд. 3.6.) Мы хотим показать, что любое решение линейного интегрального уравнения (3.7.5а) должно обладать свойством Пенлеве. Если при этом К также удовлетворяет некому ОДУ, то семейство решений этого ОДУ, полученных с помощью (3.7.5а), также обладает свойством Пенлеве. Таким образом, связь между ОДУ Р-типа и уравнениями, решаемыми с помощью МОЗР, непосредственно следует из линейного интегрального уравнения (3.7.5а).
Схема доказательства такова (подробности можно найти в [23]):
(i) F удовлетворяет линейному ОДУ и поэтому не имеет подвижных особенностей.
(II) Если функция F убывает достаточно быстро при увеличении аргумента, то применима теория Фредгольма. Из (3.7.5а) следует, что
oo
(3.7.13) К(х, у) = Р(х + у)+ \ F (х + z) dz,
x
где D1 и D2 — целые функции своих аргументов. Поэтому все особенности К возникают из неподвижных особенностей F или из подвижных нулей D2. Но функция D2 является аналитической, поэтому эти подвижные сингулярности должны быть полюсами.
(III) Таким образом, функция К — решение линейного интегрального уравнения — обладает свойством Пенлеве.
Это доказательство связывает свойство Пенлеве с линейным интегральным уравнением. Мак-Леод и Ольер [372] дали ана- 274
3. Различные перспективы
логичное доказательство. Но связь с МОЗР можно получить, отправляясь и от другой точки зрения. Флашка [157] и Флашка, Ньюэлл [163] воспользовались задачей рассеяния и уравнением эволюции волновой функции по времени. Результаты Флашки формулируются довольно просто.
(і) В разд. 1.2 обсуждалось, что условие совместности задачи рассеяния и уравнения эволюции
Lv = Kv, Vt = Mv
приводят к системе нелинейных уравнений в частных производных, интегрируемой с помощью МОЗР, которую можно представить в лаксовом виде
(3.7.14) \L,M) + Lt = 0.
(ІІ) Стационарные решения системы (3.7.14), в том числе Л'-солитонные решения и yV-фазные квазипериодические удовлетворяют коммутационному соотношению вида
(3.7.15) [L, В]= 0.
(iii) Автомодельные решения системы (3.7.14) удовлетворяют другому коммутационному соотношению
(3.7.16) [L,B] = L.
Практическая ценность соотношения (3.7.15) состоит в том, что оно позволяет свести задачу к изучению некоторого алгебраического уравнения и найти его явное решение, воспользовавшись теорией функций на алгебраических кривых. Пока не известно, как с такой же эффективностью воспользоваться алгебраической природой представления (3.7.16). Ниже в этом разделе мы кратко обсудим, как Флашке и Ньюэллу удалось провести анализ уравнения Pn и воспользоваться концепцией деформаций, сохраняющих матрицу монодромии.
3.7. с. Анализ особых точек. Пусть дано нелинейное ОДУ. Как определить, имеют ли его решения подвижные критические точки? Если рассматриваемое уравнение имеет второй порядок и приведено к виду (3.7.4), то можно сравнить его со списком 50 уравнений, найденных Пенлеве и др., приведенным в гл. 14 работы [238]. Если это уравнение содержится в списке, то оно Р-типа; если нет, то вполне возможно, что существует простая замена, преобразующая уравнение к виду, приведенному в списке. Поэтому мы рекомендуем определять природу особых точек, допускаемых уравнением (см. упр. 8).
Если уравнение имеет третий порядок или выше, то нам остается только локальный анализ особых точек. Здесь имеется два подхода. Первый — это а-метод Пенлеве, подробно описан- 3.7. Трансценденты Пенлеве
